Aplicar o método de Newton para aproximar \sqrt{3} a partir de x_{0}=1.

Passo 1

O enunciado pede aplicar o método de Newton para aproximar \sqrt{3} usando como chute inicial x_{0}=1.
Informações dadas:
  • Número a aproximar: \sqrt{3}.
  • Método: método de Newton (iterativo).
  • Chute inicial: x_{0}=1.

Passo 2

O método de Newton serve para encontrar raízes de uma função f(x), ou seja valores de x tais que f(x)=0. A iteração de Newton é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Explicando devagar: a cada iteração aproximamos f por sua reta tangente em x_n e usamos o zero dessa reta como novo chute x_{n+1}. Isso costuma convergir muito rápido (convergência quadrática) quando o chute inicial está razoavelmente perto da raiz.

Passo 3

Para obter \sqrt{3} transformamos o problema em achar raiz de
f(x)=x^{2}-3,
pois as raízes de f são \pm\sqrt{3}. A derivada é
f'(x)=2x.
Substituindo na fórmula de Newton:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-3}{2x_{n}}=\frac{2x_{n}^{2}-(x_{n}^{2}-3)}{2x_{n}}=\frac{x_{n}+\dfrac{3}{x_{n}}}{2}.
Ou seja, para este caso a iteração fica
x_{n+1}=\frac{x_{n}+\dfrac{3}{x_{n}}}{2},
que é a média aritmética entre x_{n} e 3/x_{n}. Intuição: se x_n é maior que \sqrt{3} então 3/x_n é menor e a média aproxima o valor correto, e vice-versa.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com x_{0}=1.
Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{3}{x_{0}}}{2}=\frac{1+\dfrac{3}{1}}{2}=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2.

Passo 5

Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\frac{x_{1}+\dfrac{3}{x_{1}}}{2}=\frac{2+\dfrac{3}{2}}{2}=\frac{\dfrac{4}{2}+\dfrac{3}{2}}{2}=\frac{\dfrac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}.
Em forma decimal: x_{2}=\dfrac{7}{4}=1,75.

Passo 6

Cálculo de x_{3} usando frações (para manter exatidão):
x_{3}=\frac{x_{2}+\dfrac{3}{x_{2}}}{2}=\frac{\dfrac{7}{4}+\dfrac{3}{7/4}}{2}.
Como \dfrac{3}{7/4}=\dfrac{3\cdot4}{7}=\dfrac{12}{7}, temos
x_{3}=\frac{\dfrac{7}{4}+\dfrac{12}{7}}{2}=\frac{\dfrac{49}{28}+\dfrac{48}{28}}{2}=\frac{\dfrac{97}{28}}{2}=\frac{97}{56}.
Em decimal: x_{3}=\dfrac{97}{56}\approx 1,7321428571428572.

Passo 7

Cálculo de x_{4} (novamente em frações para precisão):
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{3}{x_{3}}}{2}=\frac{\dfrac{97}{56}+\dfrac{3}{97/56}}{2}.
Calculando \dfrac{3}{97/56}=\dfrac{3\cdot56}{97}=\dfrac{168}{97}. Então
x_{4}=\frac{\dfrac{97}{56}+\dfrac{168}{97}}{2} =\frac{\dfrac{97\cdot97}{56\cdot97}+\dfrac{168\cdot56}{97\cdot56}}{2} =\frac{\dfrac{9409}{56\cdot97}+\dfrac{9408}{56\cdot97}}{2} =\frac{\dfrac{18817}{56\cdot97}}{2} =\frac{18817}{2\cdot56\cdot97}.
Multiplicando 2\cdot56\cdot97 obtemos 10864. Logo
x_{4}=\frac{18817}{10864}.
Em decimal:
x_{4}\approx 1,7320508075688772.

Passo 8

Verificação da precisão (bonitinho e exato): calculemos o resíduo x_{4}^{2}-3 em forma exata.
x_{4}^{2}-3=\frac{18817^{2}-3\cdot10864^{2}}{10864^{2}}.
Calculando os quadrados:
18817^{2}=354079489,\qquad 10864^{2}=118026496,
portanto
18817^{2}-3\cdot10864^{2}=354079489-3\cdot118026496=354079489-354079488=1.
Logo
x_{4}^{2}-3=\frac{1}{10864^{2}}=\frac{1}{118026496}\approx 8,474\times10^{-9}.
Isso mostra que x_{4} é uma aproximação extremamente boa: o erro na equação é da ordem de 10^{-8}, e a diferença x_{4}-\sqrt{3} é ainda menor (da ordem de 10^{-9}).
Observação prática para a prova: uma regra de parada comum é parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon. Aqui
|x_{4}-x_{3}|=\left|\frac{18817}{10864}-\frac{97}{56}\right|=\frac{1}{10864}\approx 9,206\times10^{-5},
então para uma tolerância \varepsilon=10^{-4} já bastariam 4 iterações; para \varepsilon=10^{-6} pode-se fazer mais uma iteração (a correção seguinte é da ordem de 10^{-9}).

Resposta

\dfrac{18817}{10864}\approx 1,7320508075688772

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