Aplicar o método de Newton para aproximar \sqrt{3} a partir de x_{0}=1.
Passo 1
O enunciado pede aplicar o método de Newton para aproximar \sqrt{3} usando como chute inicial x_{0}=1.
Informações dadas:
Número a aproximar: \sqrt{3}.
Método: método de Newton (iterativo).
Chute inicial: x_{0}=1.
Passo 2
O método de Newton serve para encontrar raízes de uma função f(x), ou seja valores de x tais que f(x)=0. A iteração de Newton é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x) é a derivada de f. Explicando devagar: a cada iteração aproximamos f por sua reta tangente em x_n e usamos o zero dessa reta como novo chute x_{n+1}. Isso costuma convergir muito rápido (convergência quadrática) quando o chute inicial está razoavelmente perto da raiz.
Passo 3
Para obter \sqrt{3} transformamos o problema em achar raiz de
que é a média aritmética entre x_{n} e 3/x_{n}. Intuição: se x_n é maior que \sqrt{3} então 3/x_n é menor e a média aproxima o valor correto, e vice-versa.
Isso mostra que x_{4} é uma aproximação extremamente boa: o erro na equação é da ordem de 10^{-8}, e a diferença x_{4}-\sqrt{3} é ainda menor (da ordem de 10^{-9}).
Observação prática para a prova: uma regra de parada comum é parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon. Aqui
então para uma tolerância \varepsilon=10^{-4} já bastariam 4 iterações; para \varepsilon=10^{-6} pode-se fazer mais uma iteração (a correção seguinte é da ordem de 10^{-9}).