Aplicar o método da potência à matriz
\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]
a partir de x^{(0)}=(1,1)^{T}, realizando quatro iterações.

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método da potência à matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
partindo do vetor inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
realizando quatro iterações. Ou seja, calcular as iterações x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} segundo o método da potência e fornecer uma estimativa do autovalor dominante após essas iterações. As informações dadas são exatamente a matriz A, o vetor x^{(0)} e o número de iterações (quatro).]

Passo 2

O que é o método da potência e como vamos aplicá-lo (passo a passo bem didático).
  • Ideia básica: se A tem um autovalor dominante (maior módulo), então aplicando repetidamente A a um vetor genérico não ortogonal ao autovetor dominante, as direções se alinham com esse autovetor. Para controlar o crescimento numérico, normalizamos a cada passo.
  • Notação e fórmulas que usaremos:
    • Calcular primeiro \,y^{(k)}=A\,x^{(k-1)}.
    • Escolher um fator de normalização c_k. Aqui vamos usar a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes), ou seja c_k=\max_i\big|y^{(k)}_i\big|.Normalização por essa escolha é simples e comum na prática.
    • Definir o próximo vetor normalizado x^{(k)}=\frac{y^{(k)}}{c_k}.
    • Uma estimativa do autovalor dominante em cada passo é c_k (o fator pelo qual o vetor foi aproximadamente escalado). Para uma estimativa ainda melhor podemos calcular o quociente de Rayleigh no vetor final: \rho(v)=\frac{v^{T}Av}{v^{T}v},que dá uma aproximação mais precisa do autovalor dominante e é independente da escala de v.
  • Motivação curta: normalizar evita que os números explodam e permite ver a direção do vetor (autovetor aproximado). O fator c_k aproxima o autovalor porque A x \approx \lambda x quando x estiver próximo do autovetor.
Agora aplico as fórmulas iterativamente.

Passo 3

Iteração 1:
  • Calcular \,y^{(1)}=A x^{(0)}:
y^{(1)}= \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot1+1\cdot1\\[4pt]1\cdot1+2\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Normalização: c_1=\max(|4|,|3|)=4.
  • Vetor normalizado:
x^{(1)}=\frac{y^{(1)}}{c_1}=\frac{1}{4}\begin{pmatrix}4\\[4pt]3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]3/4\end{pmatrix}.]

Passo 4

Iteração 2:
  • Calcular \,y^{(2)}=A x^{(1)}:
y^{(2)}= \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]3/4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot1+1\cdot\frac{3}{4}\\[6pt]1\cdot1+2\cdot\frac{3}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+\tfrac{3}{4}\\[4pt]1+\tfrac{3}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{15}{4}\\[4pt]\tfrac{5}{2}\end{pmatrix}.
  • Normalização: c_2=\max\big(\tfrac{15}{4},\tfrac{5}{2}\big)=\tfrac{15}{4}.
  • Vetor normalizado:
x^{(2)}=\frac{y^{(2)}}{c_2}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{\tfrac{5}{2}}{\tfrac{15}{4}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{4}{15}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{2}{3}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Iteração 3:
  • Calcular \,y^{(3)}=A x^{(2)}:
y^{(3)}= \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]2/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+\tfrac{2}{3}\\[4pt]1+\tfrac{4}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{11}{3}\\[4pt]\tfrac{7}{3}\end{pmatrix}.
  • Normalização: c_3=\max\big(\tfrac{11}{3},\tfrac{7}{3}\big)=\tfrac{11}{3}.
  • Vetor normalizado:
x^{(3)}=\frac{y^{(3)}}{c_3}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{\tfrac{7}{3}}{\tfrac{11}{3}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{7}{11}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Iteração 4:
  • Calcular \,y^{(4)}=A x^{(3)}:
y^{(4)}= \begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]7/11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+\tfrac{7}{11}\\[4pt]1+\tfrac{14}{11}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{40}{11}\\[4pt]\tfrac{25}{11}\end{pmatrix}.
  • Normalização: c_4=\max\big(\tfrac{40}{11},\tfrac{25}{11}\big)=\tfrac{40}{11}.
  • Vetor normalizado:
x^{(4)}=\frac{y^{(4)}}{c_4}= \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{\tfrac{25}{11}}{\tfrac{40}{11}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\dfrac{25}{40}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{5}{8}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Estimativas do autovalor dominante:
  • Uma estimativa direta pelo método é o último fator de normalização
c_4=\frac{40}{11}\approx 3{,}63636.
  • Uma estimativa mais precisa é o quociente de Rayleigh usando o vetor final v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5/8\end{pmatrix}. Como o quociente de Rayleigh é homogêneo, pode-se multiplicar v por 8 para trabalhar com inteiros: w=\begin{pmatrix}8\\[4pt]5\end{pmatrix}. Então
Aw=\begin{pmatrix}29\\[4pt]18\end{pmatrix}, \quad w^{T}Aw=8\cdot29+5\cdot18=322, \quad w^{T}w=8^{2}+5^{2}=89,
logo a estimativa é
\rho(w)=\frac{322}{89}\approx 3{,}61798.
  • Para referência, o autovalor exato dominante da matriz A é
\lambda_{\max}=\frac{5+\sqrt{5}}{2}\approx 3{,}61803,
mostrando que a aproximação pela razão de Rayleigh já está muito próxima após quatro iterações.]

Resposta

x^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3/4\end{pmatrix},\; c_1=4
x^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2/3\end{pmatrix},\; c_2=\tfrac{15}{4}
x^{(3)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]7/11\end{pmatrix},\; c_3=\tfrac{11}{3}
x^{(4)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5/8\end{pmatrix},\; c_4=\tfrac{40}{11}\approx 3{,}63636
Estimativa pelo quociente de Rayleigh (mais precisa): \dfrac{322}{89}\approx 3{,}61798]

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