a partir de x^{(0)}=(1,1)^{T}, realizando quatro iterações.
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da potência à matriz
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}
partindo do vetor inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
realizando quatro iterações. Ou seja, calcular as iterações x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)} segundo o método da potência e fornecer uma estimativa do autovalor dominante após essas iterações. As informações dadas são exatamente a matriz A, o vetor x^{(0)} e o número de iterações (quatro).]
Passo 2
O que é o método da potência e como vamos aplicá-lo (passo a passo bem didático).
Ideia básica: se A tem um autovalor dominante (maior módulo), então aplicando repetidamente A a um vetor genérico não ortogonal ao autovetor dominante, as direções se alinham com esse autovetor. Para controlar o crescimento numérico, normalizamos a cada passo.
Notação e fórmulas que usaremos:
Calcular primeiro \,y^{(k)}=A\,x^{(k-1)}.
Escolher um fator de normalização c_k. Aqui vamos usar a norma infinito (máximo valor absoluto das componentes), ou sejac_k=\max_i\big|y^{(k)}_i\big|.Normalização por essa escolha é simples e comum na prática.
Definir o próximo vetor normalizadox^{(k)}=\frac{y^{(k)}}{c_k}.
Uma estimativa do autovalor dominante em cada passo é c_k (o fator pelo qual o vetor foi aproximadamente escalado). Para uma estimativa ainda melhor podemos calcular o quociente de Rayleigh no vetor final:\rho(v)=\frac{v^{T}Av}{v^{T}v},que dá uma aproximação mais precisa do autovalor dominante e é independente da escala de v.
Motivação curta: normalizar evita que os números explodam e permite ver a direção do vetor (autovetor aproximado). O fator c_k aproxima o autovalor porque A x \approx \lambda x quando x estiver próximo do autovetor.
Uma estimativa direta pelo método é o último fator de normalização
c_4=\frac{40}{11}\approx 3{,}63636.
Uma estimativa mais precisa é o quociente de Rayleigh usando o vetor final v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]5/8\end{pmatrix}. Como o quociente de Rayleigh é homogêneo, pode-se multiplicar v por 8 para trabalhar com inteiros: w=\begin{pmatrix}8\\[4pt]5\end{pmatrix}. Então