Depois de aplicar o processo de fatoraçāo LU ao sistema A \mathrm{X}=B, com B=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 4\end{array}\right]^{T} foram encontradas as matrizes
\left[\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1\end{array}\right].
O sistema A \mathbf{X}=B é:
(4) \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=4\end{array}\right.
(b) \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=4 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=1\end{array}\right.
(c) \left\{\begin{aligned} 6 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =1 \\\\ -11 x_{1}-4 x_{2}-3 x_{3} & =4 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =4\end{aligned}\right.
(d) \left\{\begin{aligned} 6 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} & =4 \\\\ -11 x_{1}-4 x_{2}-3 x_{3} & =4 \\\\ 3 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá:
  • o vetor coluna \displaystyle B=\begin{bmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]4\end{bmatrix};
  • duas matrizes encontradas após a fatoração LU: \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & -1 & -3 \\[2pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[2pt] 2 & 1 & 0 \\[2pt] 3 & 1 & 1\end{pmatrix}.
As perguntas do enunciado: qual dos sistemas dados ((4), (b), (c) ou (d)) é exatamente o sistema A\mathbf{X}=B cuja fatoração LU gerou essas matrizes?
Informações relevantes listadas:
  • Temos B explicitamente.
  • As duas matrizes fornecidas são a matriz triangular superior U e a matriz triangular inferior L (ou vice‑versa). Precisamos identificar qual é L e qual é U, calcular A=L U e comparar com as alternativas dadas.]

Passo 2

Identificar L e U e escrever a operação que vamos fazer.
Observação: uma matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal; uma matriz triangular inferior comumente usada em fatoração LU tem 1’s na diagonal (quando se usa L com 1’s na diagonal). Das duas matrizes:
\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\[2pt] 0 & -1 & -3 \\[2pt] 0 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{?\\ } \quad\text{e}\quad \underbrace{\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\[2pt] 2 & 1 & 0 \\[2pt] 3 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{?\\ }
a primeira é triangular superior (zeros abaixo da diagonal) — é o U. A segunda é triangular inferior com diagonal de 1’s — é o L.
Logo calculamos
A = L\,U.
Lembrete (aula rápida): a entrada \displaystyle A_{ij} do produto A=L U é
A_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Vou usar essa definição passo a passo para cada linha.]

Passo 3

Calcular a primeira linha de A (i=1).
A primeira linha de L é \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix}. Então a primeira linha de A é simplesmente essa combinação das linhas de U; ou seja, é igual à primeira linha de U.
Usando a fórmula:
\begin{aligned} A_{11} &= 1\cdot U_{11} + 0\cdot U_{21} + 0\cdot U_{31} = 1\cdot 1 + 0 + 0 = 1,\\[4pt] A_{12} &= 1\cdot U_{12} + 0\cdot U_{22} + 0\cdot U_{32} = 1\cdot 1 + 0 + 0 = 1,\\[4pt] A_{13} &= 1\cdot U_{13} + 0\cdot U_{23} + 0\cdot U_{33} = 1\cdot 1 + 0 + 0 = 1. \end{aligned}
Portanto a primeira linha de A é \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 4

Calcular a segunda linha de A (i=2).
A segunda linha de L é \begin{bmatrix}2 & 1 & 0\end{bmatrix}. Aplicando a definição:
\begin{aligned} A_{21} &= 2\cdot U_{11} + 1\cdot U_{21} + 0\cdot U_{31} = 2\cdot 1 + 1\cdot 0 + 0 = 2,\\[4pt] A_{22} &= 2\cdot U_{12} + 1\cdot U_{22} + 0\cdot U_{32} = 2\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 0 = 2-1 = 1,\\[4pt] A_{23} &= 2\cdot U_{13} + 1\cdot U_{23} + 0\cdot U_{33} = 2\cdot 1 + 1\cdot(-3) + 0 = 2-3 = -1. \end{aligned}
Então a segunda linha de A é \begin{bmatrix}2 & 1 & -1\end{bmatrix}.]

Passo 5

Calcular a terceira linha de A (i=3).
A terceira linha de L é \begin{bmatrix}3 & 1 & 1\end{bmatrix}. Fazendo as somas:
\begin{aligned} A_{31} &= 3\cdot U_{11} + 1\cdot U_{21} + 1\cdot U_{31} = 3\cdot 1 + 1\cdot 0 + 1\cdot 0 = 3,\\[4pt] A_{32} &= 3\cdot U_{12} + 1\cdot U_{22} + 1\cdot U_{32} = 3\cdot 1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot 0 = 3-1 = 2,\\[4pt] A_{33} &= 3\cdot U_{13} + 1\cdot U_{23} + 1\cdot U_{33} = 3\cdot 1 + 1\cdot(-3) + 1\cdot 1 = 3-3+1 = 1. \end{aligned}
Assim a terceira linha de A é \begin{bmatrix}3 & 2 & 1\end{bmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz A encontrada e escrever o sistema A\mathbf{X}=B.
Com as três linhas calculadas,
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 1 & -1\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como B=\begin{bmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]4\end{bmatrix}, o sistema A\mathbf{X}=B é
\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3} &= 1,\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}-x_{3} &= 4,\\[4pt] 3x_{1}+2x_{2}+x_{3} &= 4. \end{aligned}\right.
Comparando com as alternativas dadas, isso coincide exatamente com a alternativa rotulada como (4) no enunciado (a primeira listada).]

Resposta

\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\[4pt] 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=4 \\[4pt] 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=4\end{array}\right.]

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