Apresente uma parametrização para a curva C \subseteq \mathbb{R}^{3} definida pelos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} que satisfazem o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ (x-1)^{2}+y^{2}=1 \\\ z \geq 0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva C\) definida pelos pontos \((x,y,z)\in\mathbb{R}^3\) que satisfazem \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\[4pt] (x-1)^{2}+y^{2}=1,\\[4pt] z\geq 0. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
  • A primeira equação é uma esfera de raio 2\] centrada em \((0,0,0).
  • A segunda equação é um cilindro de eixo paralelo ao eixo z, cujo traço no plano xy é o círculo de centro (1,0) e raio 1.
  • A condição z\geq 0 restringe a intersecção à parte com z não-negativo (a “meia” curva superior).
O objetivo: fornecer uma parametrização da curva C (uma função \mathbf{r}(t) que percorre todos os pontos de C quando t varia em algum intervalo).]

Passo 2

Parametrizar primeiro o círculo que aparece na segunda equação no plano xy. Esse círculo tem centro (1,0) e raio 1, portanto uma parametrização padrão é
x=1+\cos t,\qquad y=\sin t,
onde t é o parâmetro. Aqui t corresponde ao ângulo medido no círculo de centro (1,0); ao variar t em um período completo o par (x,y) percorre todo o círculo.

Passo 3

Agora usar a primeira equação (esfera) para obter z em função de t. Substituindo as expressões de x e y obtém-se:
x^{2}+y^{2}=(1+\cos t)^{2}+\sin^{2}t.
Desenvolvendo e simplificando:
(1+\cos t)^{2}+\sin^{2}t = 1+2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t = 2+2\cos t.
Logo, da esfera segue
z^{2}=4-(x^{2}+y^{2})=4-(2+2\cos t)=2-2\cos t.

Passo 4

Simplificar 2-2\cos t usando uma identidade trigonométrica. Como
\cos t = 1-2\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right),
temos
2-2\cos t = 2-2\bigl(1-2\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\bigr)=4\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Portanto
z^{2}=4\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right).
Tomando a raiz quadrada e lembrando da condição z\geq 0, obtemos
z=2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right),
desde que \sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ge 0. Para garantir isso de forma simples escolhemos o intervalo
t\in[0,2\pi],
pois para t\in[0,2\pi] tem-se \tfrac{t}{2}\in[0,\pi] e assim \sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\ge 0. Nesse intervalo a fórmula acima dá exatamente a parte superior da curva (com z\ge0).

Passo 5

Reunindo tudo, uma parametrização da curva C é
\mathbf{r}(t)=\bigl(1+\cos t,\;\sin t,\;2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\bigr),\qquad t\in[0,2\pi].
Verificação rápida (mostrar que satisfaz as equações): com essas componentes já calculamos x^{2}+y^{2}=2+2\cos t e portanto
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(2+2\cos t)+4\sin^{2}\!\left(\tfrac{t}{2}\right)=2+2\cos t+2-2\cos t=4,
e também (x-1)^{2}+y^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1. A condição z\ge0 é satisfeita pelo intervalo escolhido. A parametrização percorre a curva inteira superior e fecha em t=0 e t=2\pi.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(1+\cos t,\;\sin t,\;2\sin\!\left(\tfrac{t}{2}\right)\bigr),\quad t\in[0,2\pi].

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