Aproximar a função
por um polinômio do primeiro grau, uma reta, no intervalo
.
Resolução:
, isto é,
e
.
Logo:
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
&
&
em
.
\hline
\hline
\hline
Passo 1
O enunciado pede aproximar a função
por um polinômio de primeiro grau (uma reta) no intervalo
. Dados relevantes:
Procuramos uma reta da forma
onde
e
são funções que geram o espaço dos polinômios de grau
. Portanto as funções-base são
Passo 2
Explico a ideia que vamos usar (passo-a-passo, como se fosse na prova): queremos escolher
e
de modo que a reta
fique o mais próxima possível de
no sentido do erro quadrático médio sobre
. Isso equivale a projetar
no subespaço gerado por
com o produto interno
A condição de boa aproximação é que o erro
seja ortogonal ao subespaço, isto é,
Essas duas equações geram o sistema linear normal
onde
Agora calculamos cada entrada usando integrais (vou mostrar as primitivadas para que você consiga fazer sem calculadora).]
Passo 3
Calculemos as entradas da matriz
.
Como o produto interno é simétrico,
.
Passo 4
Calculemos agora o vetor
.
Passo 5
Escrevendo o sistema
com os valores obtidos:
Vamos resolver. O determinante de
é
A inversa é
Multiplicando :
Multiplicando
Calculando componente a componente:
Passo 6
Portanto a reta que melhor aproxima
em
(no sentido do erro quadrático) é
Interpretação rápida: isso significa que a projeção de
no espaço das retas em
é
; na prática, se precisar avaliar a aproximação em qualquer
basta substituir nessa expressão.