Um artigo de computador custa R$ 100 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 20% sobre o preço anterior. Qual o preço deste artigo daqui a 4 meses? E daqui a 10 meses? E daqui a 1 ano e 5 meses?
Passo 1
O que o problema pede e o que já foi dado.
- Dado inicial: o preço atual do artigo é
. - Informação sobre o aumento: o preço cresce todo mês em
sobre o preço do mês anterior. - Perguntas:
- Qual o preço daqui a
meses? - Qual o preço daqui a
meses? - Qual o preço daqui a
ano e meses (ou seja, meses)?
- Qual o preço daqui a
Passo 2
Entendendo o tipo de crescimento (explicação didática).
Quando algo aumenta uma porcentagem fixa sobre o valor do período anterior, estamos diante de um crescimento composto: cada mês multiplicamos o preço pelo mesmo fator. Se a taxa mensal for
(em forma decimal), então o fator multiplicativo mensal é
. Repetindo esse aumento
vezes (n meses) obtemos uma progressão geométrica.
Fórmula geral:
onde:
-
é o preço inicial (no nosso caso ); -
é a taxa mensal em decimal (por exemplo vira ); -
é o número de meses; -
é o preço depois de meses.
Por que essa fórmula funciona (intuição):
- Depois de 1 mês:
. - Depois de 2 meses:
. - E assim sucessivamente, multiplicando por
a cada mês.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema: converter a taxa e escrever a fórmula específica.
- Taxa mensal:
. - Fator mensal:
(vou escrever como para ficar compatível com notação decimal usada).
Logo:
Agora vamos calcular
para
,
e
.
Passo 4
Cálculo para
(daqui a 4 meses), passo a passo.
Calcule as potências:
Agora:
Portanto, o preço daqui a
meses é
.
Passo 5
Cálculo para
(daqui a 10 meses), construindo passo a passo a partir de
.
Continuando as multiplicações mensais:
Agora:
Arredondando para centavos (duas casas decimais):
(porque o terceiro decimal é
).
Portanto, o preço daqui a meses é
.
Portanto, o preço daqui a
Passo 6
Cálculo para
(daqui a 1 ano e 5 meses = 17 meses), continuando a partir de
.
Continuando as multiplicações:
Agora:
Arredondando para centavos:
(terceiro decimal é
).
Portanto, o preço daqui a meses é
.
Portanto, o preço daqui a
Passo 7
Resumo final rápido (para fixar a técnica): sempre transforme a porcentagem em decimal, use o fator
e aplique a potência correspondente ao número de períodos (meses). Se precisar de arredondamento para centavos, mantenha duas casas decimais.
Resposta
Daqui a
meses:
Daqui a meses:
Daqui a ano e
meses (
meses):
Daqui a
Daqui a