Um artigo de computador custa R$ 100 e seu preço é aumentado, mensalmente, em 20% sobre o preço anterior. Qual o preço deste artigo daqui a 4 meses? E daqui a 10 meses? E daqui a 1 ano e 5 meses?

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado.
  • Dado inicial: o preço atual do artigo é R\$\,100.
  • Informação sobre o aumento: o preço cresce todo mês em 20\% sobre o preço do mês anterior.
  • Perguntas:
    • Qual o preço daqui a 4 meses?
    • Qual o preço daqui a 10 meses?
    • Qual o preço daqui a 1 ano e 5 meses (ou seja, 17 meses)?

Passo 2

Entendendo o tipo de crescimento (explicação didática).
Quando algo aumenta uma porcentagem fixa sobre o valor do período anterior, estamos diante de um crescimento composto: cada mês multiplicamos o preço pelo mesmo fator. Se a taxa mensal for r (em forma decimal), então o fator multiplicativo mensal é 1+r. Repetindo esse aumento n vezes (n meses) obtemos uma progressão geométrica.
Fórmula geral:
P_n = P_0 \cdot (1+r)^n
onde:
  • P_0 é o preço inicial (no nosso caso P_0 = 100);
  • r é a taxa mensal em decimal (por exemplo 20\% vira r=0,20);
  • n é o número de meses;
  • P_n é o preço depois de n meses.
Por que essa fórmula funciona (intuição):
  • Depois de 1 mês: P_1 = P_0(1+r).
  • Depois de 2 meses: P_2 = P_1(1+r) = P_0(1+r)(1+r) = P_0(1+r)^2.
  • E assim sucessivamente, multiplicando por 1+r a cada mês.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: converter a taxa e escrever a fórmula específica.
  • Taxa mensal: 20\% = 0,20.
  • Fator mensal: 1+r = 1+0,20 = 1,20 (vou escrever como (1,2) para ficar compatível com notação decimal usada).
    Logo:
P_n = 100 \cdot (1,2)^n.
Agora vamos calcular P_n para n=4, n=10 e n=17.

Passo 4

Cálculo para n=4 (daqui a 4 meses), passo a passo.
Calcule as potências:
(1,2)^2 = 1,44, \qquad (1,2)^3 = 1,728, \qquad (1,2)^4 = 2,0736.
Agora:
P_4 = 100 \cdot (1,2)^4 = 100 \cdot 2,0736 = 207,36.
Portanto, o preço daqui a 4 meses é R\$\,207,36.

Passo 5

Cálculo para n=10 (daqui a 10 meses), construindo passo a passo a partir de n=4.
Continuando as multiplicações mensais:
(1,2)^5 = (1,2)^4\cdot 1,2 = 2,0736\cdot 1,2 = 2,48832,
(1,2)^6 = 2,48832\cdot 1,2 = 2,985984,
(1,2)^7 = 2,985984\cdot 1,2 = 3,5831808,
(1,2)^8 = 3,5831808\cdot 1,2 = 4,29981696,
(1,2)^9 = 4,29981696\cdot 1,2 = 5,159780352,
(1,2)^{10} = 5,159780352\cdot 1,2 = 6,1917364224.
Agora:
P_{10} = 100 \cdot (1,2)^{10} = 100 \cdot 6,1917364224 = 619,17364224.
Arredondando para centavos (duas casas decimais): 619,17364224 \to 619,17 (porque o terceiro decimal é 3<5).
Portanto, o preço daqui a 10 meses é R\$\,619,17.

Passo 6

Cálculo para n=17 (daqui a 1 ano e 5 meses = 17 meses), continuando a partir de n=10.
Continuando as multiplicações:
(1,2)^{11} = 6,1917364224\cdot 1,2 = 7,43008370688,
(1,2)^{12} = 7,43008370688\cdot 1,2 = 8,916100448256,
(1,2)^{13} = 8,916100448256\cdot 1,2 = 10,6993205379072,
(1,2)^{14} = 10,6993205379072\cdot 1,2 = 12,83918464548864,
(1,2)^{15} = 12,83918464548864\cdot 1,2 = 15,407021574586368,
(1,2)^{16} = 15,407021574586368\cdot 1,2 = 18,488425889503642,
(1,2)^{17} = 18,488425889503642\cdot 1,2 = 22,18611106740437.
Agora:
P_{17} = 100 \cdot (1,2)^{17} = 100 \cdot 22,18611106740437 = 2218,611106740437.
Arredondando para centavos: 2218,611106740437 \to 2218,61 (terceiro decimal é 1<5).
Portanto, o preço daqui a 17 meses é R\$\,2.218,61.

Passo 7

Resumo final rápido (para fixar a técnica): sempre transforme a porcentagem em decimal, use o fator 1+r e aplique a potência correspondente ao número de períodos (meses). Se precisar de arredondamento para centavos, mantenha duas casas decimais.

Resposta

Daqui a 4 meses: R\$\,207,36
Daqui a 10 meses: R\$\,619,17
Daqui a 1 ano e 5 meses ( 17 meses): R\$\,2.218,61

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