Assinale a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência convergente e a_{n} \geq b_{n}, então ( b_{n} ) é convergente.
(b) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência convergente, então \left(a_{n}\right) é monótona.
(c) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência limitada, então \left(a_{n}\right) é convergente.
(d) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência monótona e limitada, então \left(a_{n}\right) é convergente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado pede para assinalar a(s) alternativa(s) CORRETA(S) entre as quatro propostas abaixo. As afirmações são:
(a) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência convergente e a_{n}\geq b_{n} para todo n, então \left(b_{n}\right) é convergente.
(b) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência convergente, então \left(a_{n}\right) é monótona.
(c) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência limitada, então \left(a_{n}\right) é convergente.
(d) Se \left(a_{n}\right) é uma sequência monótona e limitada, então \left(a_{n}\right) é convergente.
Estas são as quatro afirmações que preciso avaliar — cada uma deve ser julgada como verdadeira ou falsa, com justificativa (exemplo contrafactual ou prova).

Passo 2

Analisando a alternativa (a). A afirmação diz que se [\left(a_{n}\right)) converge e sempre a_{n}\ge b_{n}, então \left(b_{n}\right) também converge. Vou construir um contraexemplo (isto é, exibir sequências que satisfazem as hipóteses mas cuja conclusão é falsa).
Considere a sequência
a_{n}=0\quad\text{para todo }n,
que converge para 0. Defina
b_{n}=\begin{cases} 0,&\text{se }n\text{ é par},\\[4pt] -1,&\text{se }n\text{ é ímpar}. \end{cases}ééí
Verificações:
  • Para todo n\] vale \(a_{n}=0\ge b_{n} porque b_{n} é 0 ou -1. Logo a hipótese a_{n}\ge b_{n} está satisfeita.
  • A sequência \left(b_{n}\right) é -1,0,-1,0,\dots, que não converge: tem duas subsequências com limites distintos ( -1 e 0). Portanto \left(b_{n}\right) diverge.
Conclusão do passo: a afirmação (a) é falsa, pois já existe um contraexemplo que satisfaz as hipóteses mas não a conclusão.]

Passo 3

Analisando a alternativa (b). A afirmação diz que toda sequência convergente é monótona. Isso é suspeito, porque convergência apenas exige que os termos se aproximem de um limite, não que avancem sempre na mesma direção.
Um contraexemplo simples: tome
a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
Observações:
  • \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0, porque |a_{n}|=1/n\to 0. Assim \left(a_{n}\right) é convergente.
  • Os termos oscilam de sinal: a_{1}=-1,\\ a_{2}=1/2,\\ a_{3}=-1/3,\\ a_{4}=1/4,\dots. Já entre os primeiros termos podemos ver que não existe um comportamento monótono para toda a sequência (por exemplo a_{1}<a_{2} mas a_{2}>a_{3}). Logo \left(a_{n}\right) não é monótona.
Conclusão do passo: a afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a alternativa (c). A afirmação diz que toda sequência limitada é convergente. Também suspeito que isso seja falso: ser limitada só garante que os termos ficam dentro de algum intervalo, não que se aproximem de um único valor.
Um contraexemplo clássico: considere
a_{n}=(-1)^{n}.
Observações:
  • A sequência \left(a_{n}\right) toma apenas os valores 1 e -1, portanto é limitada (por exemplo, |a_{n}|\le 1 para todo n).
  • Porém \left(a_{n}\right)=1,-1,1,-1,\dots não converge: tem duas subsequências com limites diferentes ( 1 e -1).
Conclusão do passo: a afirmação (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (d). A afirmação afirma que toda sequência que é monótona e limitada é convergente. Esta é uma afirmação padrão e verdadeira; vou demonstrar o porquê (prova didática).
Teorema (Monotone Convergence Theorem para sequências): Se \left(a_{n}\right) é monótona crescente (ou decrescente) e limitada acima (ou abaixo), então \left(a_{n}\right) converge.
Prova para o caso crescente e limitada acima (o caso decrescente e limitada abaixo é análogo, trocando supremum por ínfimum):
  • Hipóteses: suponha que \left(a_{n}\right) é crescente, isto é, para todo n vale a_{n}\le a_{n+1}, e existe uma constante M tal que a_{n}\le M para todo n (limitação superior).
  • Defina L=\sup\{a_{n}: n\in\mathbb{N}\}. Como a sequência é limitada acima, esse supremo existe e é finito.
  • Quero provar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L.
  • Dado \varepsilon>0, pela definição de supremo L-\varepsilon não é um majorante do conjunto \{a_{n}\}. Logo existe algum índice N tal que a_{N}>L-\varepsilon.
  • Como a sequência é crescente, para todo n\ge N vale a_{n}\ge a_{N} > L-\varepsilon. Mas por definição de L temos a_{n}\le L para todo n. Assim, para todo n\ge N, L-\varepsilon < a_{n} \le L.
  • Isso implica |a_{n}-L|<\varepsilon para todo n\ge N, que é precisamente a definição de \lim_{n\to\infty}a_{n}=L.
Portanto \left(a_{n}\right) converge para L quando é crescente e limitada superiormente. Caso \left(a_{n}\right) seja decrescente e limitada inferiormente, define-se L=\inf\{a_{n}\} e repete-se o argumento (mostrando que a_{n}\to L).
Exemplo concreto e intuitivo: a sequência
a_{n}=1-\frac{1}{n}
é crescente e limitada acima por 1; pelo teorema, converge para 1.
Conclusão do passo: a afirmação (d) é verdadeira.

Resposta

(d)

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