Assinale a(s) alternativa(s) CORRETA(S).
(a) Se
é uma sequência convergente e
, então (
) é convergente.
(b) Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.
(c) Se
é uma sequência limitada, então
é convergente.
(d) Se
é uma sequência monótona e limitada, então
é convergente.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são as informações dadas. O enunciado pede para assinalar a(s) alternativa(s) CORRETA(S) entre as quatro propostas abaixo. As afirmações são:
(a) Se
é uma sequência convergente e
para todo
, então
é convergente.
(b) Se
é uma sequência convergente, então
é monótona.
(c) Se
é uma sequência limitada, então
é convergente.
(d) Se
é uma sequência monótona e limitada, então
é convergente.
Estas são as quatro afirmações que preciso avaliar — cada uma deve ser julgada como verdadeira ou falsa, com justificativa (exemplo contrafactual ou prova).
Passo 2
Analisando a alternativa (a). A afirmação diz que se [\left(a_{n}\right)) converge e sempre
, então
também converge. Vou construir um contraexemplo (isto é, exibir sequências que satisfazem as hipóteses mas cuja conclusão é falsa).
Considere a sequência
que converge para
. Defina
Verificações:
- Para todo
porque
é ou . Logo a hipótese está satisfeita. - A sequência
é , que não converge: tem duas subsequências com limites distintos ( e ). Portanto diverge.
Conclusão do passo: a afirmação (a) é falsa, pois já existe um contraexemplo que satisfaz as hipóteses mas não a conclusão.]
Passo 3
Analisando a alternativa (b). A afirmação diz que toda sequência convergente é monótona. Isso é suspeito, porque convergência apenas exige que os termos se aproximem de um limite, não que avancem sempre na mesma direção.
Um contraexemplo simples: tome
Observações:
-
, porque . Assim é convergente. - Os termos oscilam de sinal:
. Já entre os primeiros termos podemos ver que não existe um comportamento monótono para toda a sequência (por exemplo mas ). Logo não é monótona.
Conclusão do passo: a afirmação (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a alternativa (c). A afirmação diz que toda sequência limitada é convergente. Também suspeito que isso seja falso: ser limitada só garante que os termos ficam dentro de algum intervalo, não que se aproximem de um único valor.
Um contraexemplo clássico: considere
Observações:
- A sequência
toma apenas os valores e , portanto é limitada (por exemplo, para todo ). - Porém
não converge: tem duas subsequências com limites diferentes ( e ).
Conclusão do passo: a afirmação (c) é falsa.
Passo 5
Analisando a alternativa (d). A afirmação afirma que toda sequência que é monótona e limitada é convergente. Esta é uma afirmação padrão e verdadeira; vou demonstrar o porquê (prova didática).
Teorema (Monotone Convergence Theorem para sequências): Se
é monótona crescente (ou decrescente) e limitada acima (ou abaixo), então
converge.
Prova para o caso crescente e limitada acima (o caso decrescente e limitada abaixo é análogo, trocando supremum por ínfimum):
- Hipóteses: suponha que
é crescente, isto é, para todo vale , e existe uma constante tal que para todo (limitação superior). - Defina
. Como a sequência é limitada acima, esse supremo existe e é finito. - Quero provar que
. - Dado
, pela definição de supremo não é um majorante do conjunto . Logo existe algum índice tal que - Como a sequência é crescente, para todo
vale . Mas por definição de temos para todo . Assim, para todo , - Isso implica
para todo , que é precisamente a definição de .
Portanto
converge para
quando é crescente e limitada superiormente. Caso
seja decrescente e limitada inferiormente, define-se
e repete-se o argumento (mostrando que
).
Exemplo concreto e intuitivo: a sequência
é crescente e limitada acima por
; pelo teorema, converge para
.
Conclusão do passo: a afirmação (d) é verdadeira.
Resposta
(d)