a. Assuming that the Hamiltonian is invariant under time reversal, prove that the wave function for a spinless nondegenerate system at any given instant of time can always be chosen to be real.
b. The wave function for a plane-wave state at
is given by a complex function
. Why does this not violate time-reversal invariance?
b. The wave function for a plane-wave state at
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Parte (a): Mostrar que, se o hamiltoniano é invariante por reversão temporal, então o autofunção de energia de um sistema sem spin não degenerado pode ser escolhida real em qualquer instante de tempo.
- Parte (b): Explicar por que o fato de a função de onda de uma onda plana em
ser (complexa) não contradiz a invariância por reversão temporal.
Informações relevantes (explícitas ou implícitas) que usaremos:
- Existe um operador de reversão temporal
. Ele é antiunitário (vai trocar por ao agir em coeficientes complexos). - O hamiltoniano
é invariante por reversão temporal, isto é, , ou equivalentemente . - No item (a) está-se assumindo um sistema sem spin e não degenerado: cada autovalor de energia tem um único autovetor (até fator de fase).
- No item (b) a função
é autofunção de impulso (e também de energia no caso de partícula livre).
Passo 2
Conceitos e propriedades que precisamos entender (aulas rápidas):
-
O que é um operador antiunitário:e ele preserva produtos escalares na forma
. Em particular, coeficientes complexos são conjugados ao sair do operador. -
A ação de
na representação de posição (sistema sem spin):
em uma base de posiçãopodemos escrever a função de onda de um estado como Para um sistema sem spinage, na base de posição, essencialmente como conjugação complexa (possivelmente seguida por alguma operação unitária simples; para sistemas sem spin puramente reduz à conjugação complexa ). Assim, em geral onde o asterisco indica conjugado complexo. -
Invariância do hamiltoniano por
:
implica que, se é autofunção de com energia , ou seja,também é autofunção de com a mesma energia . Isso é a peça-chave: mapeia autovetores de energia em autovetores com a mesma energia.
Passo 3
Aplicando a propriedade de não degenerescência:
- Seja
um autovetor de com energia . Como , é também autovetor com energia . - Se o nível
é não degenerado, então o espaço de autovetores com essa energia é unidimensional. Logo deve ser proporcional a : onde é uma fase real (constante, independente de ).
Esta relação é fundamental: a imagem do autovetor pela reversão temporal é o mesmo autovetor multiplicado por uma fase global.
Passo 4
Traduzindo isso para a função de onda na base de posição e extraindo a consequência “ser real”:
-
Escrevendo
. Aplicando e tomando produto com obtém-se -
Pelo item anterior temos
. -
PortantoEsta é uma equação simples que relaciona
com seu conjugado. -
Da relação acima vemos que
tem fase espacialmente constante. Para ver isso, escreva com . A igualdade dá Cancelando(se for zero num ponto a igualdade se mantém trivialmente), obtemos O lado direito é uma constante (independente de), logo é constante mod . Assim é constante (mod ) para todos os onde não se anula. Em outras palavras, a função de onda tem a mesma fase global em todo o espaço: .
Passo 5
Escolhendo a fase global para tornar a função de onda real (a parte prática para a prova):
- Lembre-se: estados físicos são únicos até uma fase global. Podemos redefinir
multiplicando por um fator de fase global sem alterar observáveis. - Se
, escolha a nova autofunção A função de onda correspondente é que é real e não-negativa (podemos ainda permitir sinais locais se r tiver zeros; o importante é que não haja fase complexa dependente de ). - Alternativamente, usando a fase
definida em , pode-se escolher a fase global de de modo que . Como mostrado antes, escolher com dá . Então em base de posição , i.e., é real.
Resumo do argumento prático (resumido para decorar): invariância por
+ não degenerescência ⇒
envia autoestado em si mesmo até fase ⇒ fase é global ⇒ pode-se escolher fase para anular o fator imaginário ⇒ função de onda real.
Passo 6
Explicando a parte (b): por que a onda plana complexa não viola a invariância por reversão temporal
- A função de onda
é autofunção do operador impulso com autovalor , e, para partícula livre, é também autofunção de com energia . - A reversão temporal age trocando o sinal do momento:
efetua conjugação complexa e muda (isto vem da regra geral ). Assim Ou seja, leva a onda plana de momento na onda plana de momento . - Por que isso não é uma violação? Porque invariância por reversão temporal não exige que cada autofunção seja invariável por
; exige apenas que o hamiltoniano seja invariante, de modo que se tem energia , então também tem energia . No caso da onda plana, e têm a mesma energia (devido à dependência de em ), portanto mapeia uma autofunção numa outra autofunção com a mesma energia. Não há contradição. - Além disso, o argumento do item (a) para tornar a função de onda real depende da hipótese de não degenerescência. No caso da partícula livre, o nível de energia
é degenerado: e (e em dimensões maiores ainda mais vetores com mesmo módulo) têm a mesma energia. Como há degenerescência, pode mapear um autovetor numa outra direção no subespaço degenerado, e não necessariamente no mesmo autovetor até fase. Assim não se pode, em geral, escolher uma base formada por autovetores de energia que sejam simultaneamente autoestados de (ou reais) para níveis degenerados sem escolher uma combinação linear apropriada. - Em linguagem curta:
é levada em por ; isso respeita a comutação porque ambos têm a mesma energia. A complexidade de não quebra a simetria.
Resposta
(a) Se
é invariante por reversão temporal e o nível de energia é não degenerado, então
; escolhendo a fase global adequada do autoestado faz-se
, o que na base de posição implica
, ou seja,
é real.
(b) Porque leva
em
, isto é, troca
por
; ambas as funções têm a mesma energia
, logo a invariância por
não é violada (além disso o nível é degenerado em
, então o argumento da parte (a) não se aplica).
(b) Porque