a. Assuming that the Hamiltonian is invariant under time reversal, prove that the wave function for a spinless nondegenerate system at any given instant of time can always be chosen to be real.
b. The wave function for a plane-wave state at t=0 is given by a complex function e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x} / \hbar}. Why does this not violate time-reversal invariance?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Parte (a): Mostrar que, se o hamiltoniano é invariante por reversão temporal, então o autofunção de energia de um sistema sem spin não degenerado pode ser escolhida real em qualquer instante de tempo.
  • Parte (b): Explicar por que o fato de a função de onda de uma onda plana em t=0 ser e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} (complexa) não contradiz a invariância por reversão temporal.
Informações relevantes (explícitas ou implícitas) que usaremos:
  • Existe um operador de reversão temporal T. Ele é antiunitário (vai trocar i por -i ao agir em coeficientes complexos).
  • O hamiltoniano H é invariante por reversão temporal, isto é, T H T^{-1} = H, ou equivalentemente [T,H]=0.
  • No item (a) está-se assumindo um sistema sem spin e não degenerado: cada autovalor de energia tem um único autovetor (até fator de fase).
  • No item (b) a função e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} é autofunção de impulso (e também de energia no caso de partícula livre).

Passo 2

Conceitos e propriedades que precisamos entender (aulas rápidas):
  • O que é um operador antiunitário:
    \text{Se }T\text{ é antiunitário, então }T(c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle)=c_1^* T|\psi_1\rangle + c_2^* T|\psi_2\rangle,éáã
    e ele preserva produtos escalares na forma \langle T\varphi|T\psi\rangle = \langle \psi|\varphi\rangle. Em particular, coeficientes complexos são conjugados ao sair do operador.
  • A ação de T na representação de posição (sistema sem spin):
    em uma base de posição |\mathbf{x}\rangle podemos escrever a função de onda de um estado |\psi\rangle como
    \psi(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x}|\psi\rangle.
    Para um sistema sem spin T age, na base de posição, essencialmente como conjugação complexa (possivelmente seguida por alguma operação unitária simples; para sistemas sem spin puramente T reduz à conjugação complexa K). Assim, em geral
    \langle \mathbf{x}|T|\psi\rangle = \psi^*(\mathbf{x}),
    onde o asterisco indica conjugado complexo.
  • Invariância do hamiltoniano por T:
    [T,H]=0 implica que, se |n\rangle é autofunção de H com energia E_n,
    H (T|n\rangle) = T(H|n\rangle) = E_n (T|n\rangle),
    ou seja, T|n\rangle também é autofunção de H com a mesma energia E_n. Isso é a peça-chave: T mapeia autovetores de energia em autovetores com a mesma energia.

Passo 3

Aplicando a propriedade de não degenerescência:
  • Seja |n\rangle um autovetor de H com energia E_n. Como [T,H]=0, T|n\rangle é também autovetor com energia E_n.
  • Se o nível E_n é não degenerado, então o espaço de autovetores com essa energia é unidimensional. Logo T|n\rangle deve ser proporcional a |n\rangle: T|n\rangle = e^{i\alpha}|n\rangle,onde \alpha é uma fase real (constante, independente de \mathbf{x}).
Esta relação é fundamental: a imagem do autovetor pela reversão temporal é o mesmo autovetor multiplicado por uma fase global.

Passo 4

Traduzindo isso para a função de onda na base de posição e extraindo a consequência “ser real”:
  • Escrevendo \psi_n(\mathbf{x})=\langle \mathbf{x}|n\rangle. Aplicando T e tomando produto com \langle \mathbf{x}| obtém-se
    \langle \mathbf{x}|T|n\rangle = \psi_n^*(\mathbf{x}).
  • Pelo item anterior temos \langle \mathbf{x}|T|n\rangle = \langle \mathbf{x}| e^{i\alpha}|n\rangle = e^{i\alpha}\psi_n(\mathbf{x}).
  • Portanto
    \psi_n^*(\mathbf{x}) = e^{i\alpha}\psi_n(\mathbf{x}).
    Esta é uma equação simples que relaciona \psi_n com seu conjugado.
  • Da relação acima vemos que \psi_n(\mathbf{x}) tem fase espacialmente constante. Para ver isso, escreva \psi_n(\mathbf{x}) = r(\mathbf{x}) e^{i\theta(\mathbf{x})} com r(\mathbf{x})\ge 0. A igualdade \psi_n^* = e^{i\alpha}\psi_n
    r(\mathbf{x}) e^{-i\theta(\mathbf{x})} = e^{i\alpha} r(\mathbf{x}) e^{i\theta(\mathbf{x})}.
    Cancelando r(\mathbf{x}) (se for zero num ponto a igualdade se mantém trivialmente), obtemos
    e^{-i\theta(\mathbf{x})} = e^{i\alpha} e^{i\theta(\mathbf{x})}\quad\Rightarrow\quad e^{2i\theta(\mathbf{x})}=e^{-i\alpha}.
    O lado direito é uma constante (independente de \mathbf{x}), logo 2\theta(\mathbf{x}) é constante mod 2\pi. Assim \theta(\mathbf{x}) é constante (mod \pi) para todos os \mathbf{x} onde \psi_n não se anula. Em outras palavras, a função de onda tem a mesma fase global em todo o espaço: \psi_n(\mathbf{x}) = e^{i\theta_0} r(\mathbf{x}).

Passo 5

Escolhendo a fase global para tornar a função de onda real (a parte prática para a prova):
  • Lembre-se: estados físicos são únicos até uma fase global. Podemos redefinir |n\rangle multiplicando por um fator de fase global sem alterar observáveis.
  • Se \psi_n(\mathbf{x}) = e^{i\theta_0} r(\mathbf{x}), escolha a nova autofunção |n'\rangle = e^{-i\theta_0}|n\rangle.A função de onda correspondente é \psi_n'(\mathbf{x}) = \langle \mathbf{x}|n'\rangle = e^{-i\theta_0}\psi_n(\mathbf{x}) = r(\mathbf{x}),que é real e não-negativa (podemos ainda permitir sinais locais se r tiver zeros; o importante é que não haja fase complexa dependente de \mathbf{x}).
  • Alternativamente, usando a fase \alpha definida em T|n\rangle=e^{i\alpha}|n\rangle, pode-se escolher a fase global de |n\rangle de modo que T|n\rangle=|n\rangle. Como mostrado antes, escolher |n'\rangle=e^{i\gamma}|n\rangle com \gamma=\alpha/2 T|n'\rangle=|n'\rangle. Então em base de posição \psi'(\mathbf{x})=\psi'^*(\mathbf{x}), i.e., \psi' é real.
Resumo do argumento prático (resumido para decorar): invariância por T + não degenerescência ⇒ T envia autoestado em si mesmo até fase ⇒ fase é global ⇒ pode-se escolher fase para anular o fator imaginário ⇒ função de onda real.

Passo 6

Explicando a parte (b): por que a onda plana complexa não viola a invariância por reversão temporal
  • A função de onda \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{x})=e^{i \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} é autofunção do operador impulso \hat{\mathbf{p}} com autovalor \mathbf{p}, e, para partícula livre, é também autofunção de H=\hat{\mathbf{p}}^2/2m com energia E=\mathbf{p}^2/2m.
  • A reversão temporal age trocando o sinal do momento: T efetua conjugação complexa e muda \mathbf{p}\to -\mathbf{p} (isto vem da regra geral T \hat{\mathbf{p}} T^{-1} = -\hat{\mathbf{p}}). Assim \langle \mathbf{x}|T|\psi_{\mathbf{p}}\rangle = \psi_{\mathbf{p}}^*(\mathbf{x}) = e^{-i \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} = \psi_{-\mathbf{p}}(\mathbf{x}).Ou seja, T leva a onda plana de momento \mathbf{p} na onda plana de momento -\mathbf{p}.
  • Por que isso não é uma violação? Porque invariância por reversão temporal não exige que cada autofunção seja invariável por T; exige apenas que o hamiltoniano seja invariante, de modo que se |\psi\rangle tem energia E, então T|\psi\rangle também tem energia E. No caso da onda plana, |\psi_{\mathbf{p}}\rangle e |\psi_{-\mathbf{p}}\rangle têm a mesma energia (devido à dependência de E em \mathbf{p}^2), portanto T mapeia uma autofunção numa outra autofunção com a mesma energia. Não há contradição.
  • Além disso, o argumento do item (a) para tornar a função de onda real depende da hipótese de não degenerescência. No caso da partícula livre, o nível de energia E=\mathbf{p}^2/2m é degenerado: \mathbf{p} e -\mathbf{p} (e em dimensões maiores ainda mais vetores \mathbf{p}' com mesmo módulo) têm a mesma energia. Como há degenerescência, T pode mapear um autovetor numa outra direção no subespaço degenerado, e não necessariamente no mesmo autovetor até fase. Assim não se pode, em geral, escolher uma base formada por autovetores de energia que sejam simultaneamente autoestados de T (ou reais) para níveis degenerados sem escolher uma combinação linear apropriada.
  • Em linguagem curta: \psi_{\mathbf{p}} é levada em \psi_{-\mathbf{p}} por T; isso respeita a comutação [T,H]=0 porque ambos têm a mesma energia. A complexidade de \psi_{\mathbf{p}} não quebra a simetria.

Resposta

(a) Se H é invariante por reversão temporal e o nível de energia é não degenerado, então T|n\rangle = e^{i\alpha}|n\rangle; escolhendo a fase global adequada do autoestado faz-se T|n\rangle=|n\rangle, o que na base de posição implica \psi(\mathbf{x})=\psi^*(\mathbf{x}), ou seja, \psi(\mathbf{x}) é real.
(b) Porque T leva \\ e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar} em \\ e^{-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}/\hbar}=\\ e^{i(-\mathbf{p})\cdot\mathbf{x}/\hbar}, isto é, troca \mathbf{p} por -\mathbf{p}; ambas as funções têm a mesma energia (\mathbf{p}^2/2m), logo a invariância por T não é violada (além disso o nível é degenerado em \pm\mathbf{p}, então o argumento da parte (a) não se aplica).

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