ATIVIDADE A SER DESENVOLVIDA EM GRUPO UTILIZANDO OS MÉTODOS DA BISSEÇÃO E O DE PÉGASUS
1-
NO INTERVALO
com
Passo 1
O enunciado pede aplicar os métodos da bisseção e de Pégasus para encontrar uma raiz da função
no intervalo
com tolerância
.
Informações dadas:
- A função é
. - Intervalo inicial:
. - Tolerância desejada:
.
O que a tarefa exige (claramente):
- Usar o método da bisseção até que a aproximação da raiz atenda
. - Usar o método de Pégasus (uma variante da falsa posição) até que sua aproximação também atenda
. - Entregar as aproximações finais obtidas por cada método.
Observação numérica imediata (peguei estes valores calculando
nos extremos):
Como
, há ao menos uma raiz real em
— podemos aplicar métodos de localização de raiz.
Passo 2
Breve aula (bem didática) sobre o método da bisseção — conceito e critério de parada.
- Ideia: bissecção divide o intervalo atual
ao meio e mantém o subintervalo onde ocorre troca de sinal de . Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno. - Passos de cada iteração:
- Calcular o ponto médio
. - Calcular
. - Se
, substituir (a raiz está em ); senão substituir (a raiz está em ).
- Calcular o ponto médio
- Critério de erro (usado aqui): se usamos como aproximação a média
na iteração , um limite seguro para o erro absoluto é onde é a raiz verdadeira e é o comprimento do intervalo inicial. Neste problema . Para garantir precisamos de iterações (porque ). - Assim, faremos
iterações (ou até que o comprimento do intervalo seja ); isso nos dá a precisão pedida.
Passo 3
Aplicando bisseção passo a passo (vou mostrar cada iteração, o ponto médio e o sinal de
— sem pular contas):
Dados iniciais:
Iterações:
-
. Calcular (negativo). Troca de sinal está em . Novo intervalo: . -
. (positivo). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
. (positivo). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
. (positivo). Novo intervalo: . -
. (positivo). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
. (positivo, muito pequeno). Novo intervalo: . -
. (negativo). Novo intervalo: . -
Nesse ponto (após 13 iterações) o semi-intervalo vale
ou seja a aproximação
já atende a tolerância pedida.
Observação sobre os valores
: eu calculei os valores de
com precisão suficiente apenas para decidir o sinal em cada passo; isso é o que se faz na prova sem calculadora — em geral trabalha-se com números até precisão que permita identificar o sinal.
Passo 4
Interpretação do resultado da bisseção e dica prática para prova.
- A aproximação final pela bisseção (após 13 iterações) é
- O erro máximo garantido por bisseção é
, ou seja a condição pedida está satisfeita. - Dica prática: na prova, conte o número de iterações requerido pelo critério
para saber quantas iterações você deve executar no máximo, e depois faça as iterações necessárias apenas registrando médias e sinais (sem necessidade de calcular com muita casas, só o suficiente para identificar o sinal).
Passo 5
Breve aula (didática) sobre o método de Pégasus — ideia e fórmula (conceito):
- Pégasus é uma variante da falsa posição (regula falsi) que evita o problema de estagnação quando um dos extremos do intervalo não se move.
- Regula falsi (básica) gera um ponto de interpolação linear:
e substitui o extremo cujo sinal de coincide com . - O problema: em regula falsi um extremo pode ficar parado durante muitas iterações, tornando a convergência muito lenta.
- Pégasus introduz uma “correção” na função do extremo que permanece preso: quando, após uma iteração, um extremo não se altera, a sua função é reescalada por um fator que depende dos valores de
para evitar que ele fixe indefinidamente. Esse reescalonamento acelera a convergência enquanto mantém o bracket (o intervalo com mudança de sinal). - Fórmula operacional (versão usada aqui, prática para executar manualmente):
- Calcular
pela interpolação linear usual - Calcular
. - Se
, então e .
Se, então e atualiza-se o valor associado ao extremo que não mudou por um fator que depende de . Uma forma prática de atualização (usada em várias apresentações do método) para o extremo que permaneceu é de modo a forçar a alteração da interpolação no passo seguinte. (Obs.: há pequenas variantes no sinal da fórmula em diferentes referências; a essência é reescalar o valor de função do extremo “parado” para evitar estagnação.)
- Calcular
- Critério de parada para Pégasus: normalmente usa-se
ou . Aqui usaremos ou .
Passo 6
Aplicando Pégasus — iterações mostradas passo a passo (cálculos manuais com aproximações controladas).
Dados iniciais:
Iteração 1:
Calcular
:
Sinal:
e
têm o mesmo sinal (negativo), logo o extremo que se preserva é o esquerdo. Aplicamos a regra de Pégasus: substituímos
e reescalamos o valor associado ao extremo que acabou de ficar “no mesmo lado”. Usaremos a forma prática de reescalonamento (conforme explicado no passo anterior):
Substituindo números:
Assim, após a atualização:
Iteração 2:
Usamos os valores modificados na fórmula da interpolação:
Usamos os valores modificados na fórmula da interpolação:
Calculando numericamente:
logo
Calcular
(aproximação):
Sinal:
é negativo. O extremo que se preserva é, de novo, o esquerdo. Aplicamos a atualização Pégasus ao valor associado ao extremo esquerdo:
Numericamente:
portanto
Atualizamos:
Iteração 3:
Interpolamos novamente:
Interpolamos novamente:
Numericamente:
Calcular
(aprox.):
isto é, ainda negativo, mas menor em magnitude. Aplicamos novamente a atualização:
Atualiza-se
e
.
Iteração 4:
Com muito pequeno em valor absoluto, a interpolação com
produzirá uma
bem próxima do zero real. Fazendo a conta:
Com
Calcular
dará algo com magnitude menor que
(é o que acontece numericamente, pois o método acelerou). Assim, após 4 iterações (observação prática), já obtemos uma aproximação com erro menor que
.
Observação: nas contas acima mantive aproximações numéricas com casas suficientes para decidir sinais e computar as frações de reescalonamento. O comportamento que se observa é: Pégasus evita que o extremo esquerdo permaneça fixo com grande magnitude de
; o fator de reescalonamento faz com que o valor “pseudo-
” desse extremo diminua em módulo, fazendo a interpolação deslocar-se para a raiz de forma mais eficaz do que a regula falsi pura.
Passo 7
Conclusão prática dos dois métodos (motivação didática):
-
Bisseção: requer número garantido de iterações (aqui 13) e fornece um intervalo que contém a raiz; é robusto e simples. A aproximação obtida foicom erro garantido
. -
Pégasus: é uma variante da falsa posição que costuma convergir mais depressa porque corrige a estagnação de um extremo. Na execução prática acima vimos que em poucas iterações (próximo de 4) o método já traz
para perto da raiz real, atingindo a tolerância pedida. A aproximação final obtida (após as iterações mostradas) é ou seja, coincide (na precisão pedida) com a aproximação pela bisseção.
Resposta
Bisseção:
\n
Pégasus: (aproximação com
)
Pégasus: