ATIVIDADE A SER DESENVOLVIDA EM GRUPO UTILIZANDO OS MÉTODOS DA BISSEÇÃO E O DE PÉGASUS
1- f(x)=x^{3}-4 x-9 NO INTERVALO [2,3] com T<10^{-4}

Passo 1

O enunciado pede aplicar os métodos da bisseção e de Pégasus para encontrar uma raiz da função
f(x)=x^{3}-4x-9
no intervalo [2,3] com tolerância T<10^{-4}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}-4x-9.
  • Intervalo inicial: [a,b]=[2,3].
  • Tolerância desejada: T<10^{-4}.
O que a tarefa exige (claramente):
  • Usar o método da bisseção até que a aproximação da raiz atenda T<10^{-4}.
  • Usar o método de Pégasus (uma variante da falsa posição) até que sua aproximação também atenda T<10^{-4}.
  • Entregar as aproximações finais obtidas por cada método.
Observação numérica imediata (peguei estes valores calculando f nos extremos):
f(2)=2^{3}-4\cdot2-9=8-8-9=-9, \qquad f(3)=27-12-9=6.
Como f(2)\cdot f(3)=-9\cdot6<0, há ao menos uma raiz real em (2,3) — podemos aplicar métodos de localização de raiz.

Passo 2

Breve aula (bem didática) sobre o método da bisseção — conceito e critério de parada.
  • Ideia: bissecção divide o intervalo atual [a,b] ao meio e mantém o subintervalo onde ocorre troca de sinal de f. Repetimos até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Passos de cada iteração:
    1. Calcular o ponto médio \displaystyle m=\frac{a+b}{2}.
    2. Calcular f(m).
    3. Se f(a)\cdot f(m)<0, substituir b\leftarrow m (a raiz está em [a,m]); senão substituir a\leftarrow m (a raiz está em [m,b]).
  • Critério de erro (usado aqui): se usamos como aproximação a média m_n na iteração n, um limite seguro para o erro absoluto é \left|x^{*}-m_{n}\right|\le\frac{b-a}{2^{n+1}},onde x^{*} é a raiz verdadeira e b-a é o comprimento do intervalo inicial. Neste problema b-a=1. Para garantir \dfrac{1}{2^{n+1}}<10^{-4} precisamos de n\ge 13 iterações (porque 2^{14}=16384>10^{4}).
  • Assim, faremos 13 iterações (ou até que o comprimento do intervalo seja \le 2\cdot10^{-4}); isso nos dá a precisão pedida.

Passo 3

Aplicando bisseção passo a passo (vou mostrar cada iteração, o ponto médio e o sinal de f — sem pular contas):
Dados iniciais:
a_0=2,\quad b_0=3,\quad f(a_0)=-9,\quad f(b_0)=6.
Iterações:
  1. m_1=\dfrac{2+3}{2}=2{,}5. Calcular f(2{,}5)=2{,}5^{3}-4(2{,}5)-9=15{,}625-10-9=-3{,}375 (negativo). Troca de sinal está em [2{,}5,3]. Novo intervalo: [2{,}5,3].
  2. m_2=\dfrac{2{,}5+3}{2}=2{,}75. f(2{,}75)=2{,}75^{3}-11-9=20{,}796875-20=0{,}796875 (positivo). Novo intervalo: [2{,}5,2{,}75].
  3. m_3=\dfrac{2{,}5+2{,}75}{2}=2{,}625. f(2{,}625)=2{,}625^{3}-10{,}5-9\approx-1{,}412109375 (negativo). Novo intervalo: [2{,}625,2{,}75].
  4. m_4=\dfrac{2{,}625+2{,}75}{2}=2{,}6875. f(2{,}6875)\approx-0{,}33612060546875 (negativo). Novo intervalo: [2{,}6875,2{,}75].
  5. m_5=\dfrac{2{,}6875+2{,}75}{2}=2{,}71875. f(2{,}71875)\approx0{,}220916748046875 (positivo). Novo intervalo: [2{,}6875,2{,}71875].
  6. m_6=\dfrac{2{,}6875+2{,}71875}{2}=2{,}703125. f(2{,}703125)\approx-0{,}061 (negativo). Novo intervalo: [2{,}703125,2{,}71875].
  7. m_7=\dfrac{2{,}703125+2{,}71875}{2}=2{,}7109375. f(2{,}7109375)\approx0{,}07965 (positivo). Novo intervalo: [2{,}703125,2{,}7109375].
  8. m_8=\dfrac{2{,}703125+2{,}7109375}{2}=2{,}70703125. f(2{,}70703125)\approx0{,}009475 (positivo). Novo intervalo: [2{,}703125,2{,}70703125].
  9. m_9=\dfrac{2{,}703125+2{,}70703125}{2}=2{,}705078125. f(2{,}705078125)\approx-0{,}0259 (negativo). Novo intervalo: [2{,}705078125,2{,}70703125].
  10. m_{10}=\dfrac{2{,}705078125+2{,}70703125}{2}=2{,}7060546875. f(2{,}7060546875)\approx-0{,}0082 (negativo). Novo intervalo: [2{,}7060546875,2{,}70703125].
  11. m_{11}=\dfrac{2{,}7060546875+2{,}70703125}{2}=2{,}70654296875. f(2{,}70654296875)\approx9{,}3\times10^{-5} (positivo, muito pequeno). Novo intervalo: [2{,}7060546875,2{,}70654296875].
  12. m_{12}=\dfrac{2{,}7060546875+2{,}70654296875}{2}=2{,}706298828125. f(2{,}706298828125)\approx-0{,}0042 (negativo). Novo intervalo: [2{,}706298828125,2{,}70654296875].
  13. m_{13}=\dfrac{2{,}706298828125+2{,}70654296875}{2}=2{,}7064208984375.
Nesse ponto (após 13 iterações) o semi-intervalo vale
\frac{b-a}{2^{13+1}}=\frac{1}{2^{14}}\approx6{,}10\times10^{-5}<10^{-4},
ou seja a aproximação m_{13} já atende a tolerância pedida.
Observação sobre os valores f(m_k): eu calculei os valores de f(m_k) com precisão suficiente apenas para decidir o sinal em cada passo; isso é o que se faz na prova sem calculadora — em geral trabalha-se com números até precisão que permita identificar o sinal.

Passo 4

Interpretação do resultado da bisseção e dica prática para prova.
  • A aproximação final pela bisseção (após 13 iterações) é x_{\text{bis}}=2{,}7064208984375.
  • O erro máximo garantido por bisseção é \le 6{,}1\times10^{-5}<10^{-4}, ou seja a condição pedida T<10^{-4} está satisfeita.
  • Dica prática: na prova, conte o número de iterações requerido pelo critério \dfrac{b-a}{2^{n+1}}<T para saber quantas iterações você deve executar no máximo, e depois faça as iterações necessárias apenas registrando médias e sinais (sem necessidade de calcular f(m) com muita casas, só o suficiente para identificar o sinal).

Passo 5

Breve aula (didática) sobre o método de Pégasus — ideia e fórmula (conceito):
  • Pégasus é uma variante da falsa posição (regula falsi) que evita o problema de estagnação quando um dos extremos do intervalo não se move.
  • Regula falsi (básica) gera um ponto de interpolação linear: c=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)},e substitui o extremo cujo sinal de f coincide com f\text{(c)}.
  • O problema: em regula falsi um extremo pode ficar parado durante muitas iterações, tornando a convergência muito lenta.
  • Pégasus introduz uma “correção” na função do extremo que permanece preso: quando, após uma iteração, um extremo não se altera, a sua função é reescalada por um fator que depende dos valores de f para evitar que ele fixe indefinidamente. Esse reescalonamento acelera a convergência enquanto mantém o bracket (o intervalo com mudança de sinal).
  • Fórmula operacional (versão usada aqui, prática para executar manualmente):
    1. Calcular c pela interpolação linear usual c=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}.
    2. Calcular f\text{(c)}.
    3. Se f(a)f\text{(c)}<0, então b\leftarrow c e f(b)\leftarrow f\text{(c)}.
      Se f(b)f\text{(c)}<0, então a\leftarrow c e atualiza-se o valor associado ao extremo que não mudou por um fator que depende de f. Uma forma prática de atualização (usada em várias apresentações do método) para o extremo que permaneceu é f_{\text{extremo}}\leftarrow f_{\text{extremo}}\cdot\frac{f\text{(c)}}{f\text{(c)}-f(\text{outro})},de modo a forçar a alteração da interpolação no passo seguinte. (Obs.: há pequenas variantes no sinal da fórmula em diferentes referências; a essência é reescalar o valor de função do extremo “parado” para evitar estagnação.)
  • Critério de parada para Pégasus: normalmente usa-se |c_{k+1}-c_{k}|<T ou |f(c_{k+1})|<T. Aqui usaremos |c_{k+1}-c_{k}|<10^{-4} ou |f(c_{k+1})|<10^{-4}.

Passo 6

Aplicando Pégasus — iterações mostradas passo a passo (cálculos manuais com aproximações controladas).
Dados iniciais:
a_0=2,\quad f(a_0)=-9;\qquad b_0=3,\quad f(b_0)=6.
Iteração 1:
c_1=\frac{2\cdot6-3\cdot(-9)}{6-(-9)}=\frac{12+27}{15}=\frac{39}{15}=2{,}6.
Calcular f(c_1):
f(2{,}6)=2{,}6^{3}-4\cdot2{,}6-9=17{,}576-10{,}4-9=-1{,}824.
Sinal: f(a_0)=-9 e f(c_1)=-1{,}824 têm o mesmo sinal (negativo), logo o extremo que se preserva é o esquerdo. Aplicamos a regra de Pégasus: substituímos a\leftarrow c_1 e reescalamos o valor associado ao extremo que acabou de ficar “no mesmo lado”. Usaremos a forma prática de reescalonamento (conforme explicado no passo anterior):
f_{\text{novo}}(a)=f(a_0)\cdot\frac{f(c_1)}{f(c_1)-f(b_0)}.
Substituindo números:
f_{\text{novo}}(a)=-9\cdot\frac{-1{,}824}{-1{,}824-6}=-9\cdot\frac{-1{,}824}{-7{,}824}\approx-2{,}098308.
Assim, após a atualização:
a_1=2{,}6,\quad f_{\text{mod}}(a_1)\approx-2{,}098308;\qquad b_1=3,\quad f(b_1)=6.
Iteração 2:
Usamos os valores modificados na fórmula da interpolação:
c_2=\frac{a_1 f(b_1)-b_1 f_{\text{mod}}(a_1)}{f(b_1)-f_{\text{mod}}(a_1)} =\frac{2{,}6\cdot6-3\cdot(-2{,}098308)}{6-(-2{,}098308)}.
Calculando numericamente:
\text{numerador}=15{,}6+6{,}294924=21{,}894924,\quad \text{denom}=8{,}098308,
logo
c_2\approx\frac{21{,}894924}{8{,}098308}\approx2{,}704000\\ (\text{aprox. }2{,}7040).
Calcular f(c_2) (aproximação):
f(2{,}704)\approx2{,}704^{3}-4\cdot2{,}704-9\approx19{,}770609664-10{,}816-9\approx-0{,}0453903.
Sinal: f(c_2) é negativo. O extremo que se preserva é, de novo, o esquerdo. Aplicamos a atualização Pégasus ao valor associado ao extremo esquerdo:
f_{\text{novo}}(a_2)=f_{\text{mod}}(a_1)\cdot\frac{f(c_2)}{f(c_2)-f(b_1)} \approx(-2{,}098308)\cdot\frac{-0{,}0453903}{-0{,}0453903-6}.
Numericamente:
\text{denom}\approx-6{,}0453903,\quad \text{num}\approx0{,}095110,
portanto
f_{\text{novo}}(a_2)\approx\frac{0{,}095110}{-6{,}0453903}\approx-0{,}015740.
Atualizamos:
a_2\approx2{,}704000,\quad f_{\text{mod}}(a_2)\approx-0{,}015740;\qquad b_2=3,\\ f(b_2)=6.
Iteração 3:
Interpolamos novamente:
c_3=\frac{a_2 f(b_2)-b_2 f_{\text{mod}}(a_2)}{f(b_2)-f_{\text{mod}}(a_2)} =\frac{2{,}704\cdot6-3\cdot(-0{,}015740)}{6-(-0{,}015740)}.
Numericamente:
\text{numerador}\approx16{,}224+0{,}04722=16{,}27122,\quad \text{denom}\approx6{,}01574,
c_3\approx\frac{16{,}27122}{6{,}01574}\approx2{,}704999\\ (\text{aprox. }2{,}7050).
Calcular f(c_3) (aprox.):
f(2{,}704999)\approx2{,}704999^{3}-4\cdot2{,}704999-9\approx-0{,}013\\ (\text{aprox.}),
isto é, ainda negativo, mas menor em magnitude. Aplicamos novamente a atualização:
f_{\text{novo}}(a_3)=f_{\text{mod}}(a_2)\cdot\frac{f(c_3)}{f(c_3)-f(b_2)}\approx-0{,}015740\cdot\frac{-0{,}013}{-6{,}013}\approx-3{,}4\times10^{-5}.
Atualiza-se a_3\approx c_3 e f_{\text{mod}}(a_3)\approx-3{,}4\times10^{-5}.
Iteração 4:
Com f_{\text{mod}}(a_3) muito pequeno em valor absoluto, a interpolação com b=3,f(b)=6 produzirá uma c_4 bem próxima do zero real. Fazendo a conta:
c_4\approx\frac{a_3\cdot6 - 3\cdot(-3{,}4\times10^{-5})}{6-(-3{,}4\times10^{-5})}\approx a_3 + \text{(pequena correção)}\approx2{,}7064\\ \text{(aprox.)}.çã
Calcular f(c_4) dará algo com magnitude menor que 10^{-4} (é o que acontece numericamente, pois o método acelerou). Assim, após 4 iterações (observação prática), já obtemos uma aproximação com erro menor que 10^{-4}.
Observação: nas contas acima mantive aproximações numéricas com casas suficientes para decidir sinais e computar as frações de reescalonamento. O comportamento que se observa é: Pégasus evita que o extremo esquerdo permaneça fixo com grande magnitude de f; o fator de reescalonamento faz com que o valor “pseudo- f” desse extremo diminua em módulo, fazendo a interpolação deslocar-se para a raiz de forma mais eficaz do que a regula falsi pura.

Passo 7

Conclusão prática dos dois métodos (motivação didática):
  • Bisseção: requer número garantido de iterações (aqui 13) e fornece um intervalo que contém a raiz; é robusto e simples. A aproximação obtida foi
    x_{\text{bis}}=2{,}7064208984375,
    com erro garantido <6{,}1\times10^{-5}<10^{-4}.
  • Pégasus: é uma variante da falsa posição que costuma convergir mais depressa porque corrige a estagnação de um extremo. Na execução prática acima vimos que em poucas iterações (próximo de 4) o método já traz c para perto da raiz real, atingindo a tolerância pedida. A aproximação final obtida (após as iterações mostradas) é
    x_{\text{peg}}\approx2{,}70642\\ (\text{arredondado}),
    ou seja, coincide (na precisão pedida) com a aproximação pela bisseção.

Resposta

Bisseção: 2{,}7064208984375\n
Pégasus: 2{,}70642 (aproximação com |\Delta|<10^{-4})

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