No átomo de hidrogênio, considere o espectro de emissão de Lyman, cujas transições terminam em n=1.
Determine:
  • o comprimento de onda da radiação de maior energia emitida nessa série
  • e a transição correspondente

Passo 1

O enunciado dá: série de Lyman no átomo de hidrogênio — ou seja, transições eletrônicas que terminam em n=1. Pede duas coisas:
  • determinar o comprimento de onda da radiação de maior energia emitida nessa série;
  • identificar a transição correspondente.
Informações relevantes que usaremos (fornecidas implicitamente pelo enunciado ou por constantes físicas padrão):
  • os níveis de energia do elétron no átomo de hidrogênio são dados por valores discretos E_n;
  • na emissão, a energia do fóton é a diferença E_{\text{fóton}}=E_i-E_fó;
  • para Lyman vale E_f=E_{1} e E_i é algum nível n_i=2,3,\dots (ou tendendo a \infty para o limite da série).

Passo 2

Relembrando a fórmula dos níveis de energia (aula rápida): no átomo de hidrogênio, a energia do nível com número quântico principal n é
E_n = -\dfrac{13,6\\ \text{eV}}{n^2},
onde E_n é a energia do elétron no nível n medida em elétron-volts (eV). Aqui:
  • 13,6\\ \text{eV} é a energia de ionização do átomo de hidrogênio do nível n=1;
  • n=1,2,3,\dots.
Explicando em miúdos: níveis ligados têm energia negativa; quanto maior n, menos ligado (energia mais perto de zero).

Passo 3

Energia do fóton emitido numa transição n_i\to n_f é a diferença
E_{\text{fóton}} = E_{n_i}-E_{n_f} = -\dfrac{13,6}{n_i^2} -\left(-\dfrac{13,6}{n_f^2}\right) = 13,6\left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\\ \text{eV}.ó
Para a série de Lyman n_f=1, então
E_{\text{fóton}}(n_i\to1)=13,6\left(1-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\\ \text{eV},ó
com n_i=2,3,4,\dots.

Passo 4

Determinar qual é a maior energia possível nessa série: observe a expressão
E_{\text{fóton}}(n_i\to1)=13,6\left(1-\dfrac{1}{n_i^2}\right).ó
À medida que n_i cresce, \dfrac{1}{n_i^2} tende a zero, portanto E_{\text{fóton}}ó aumenta e tende a
\lim_{n_i\to\infty}E_{\text{fóton}} = 13,6\\ \text{eV}.ó
Interpretação física: o maior valor de energia emitida na série é o limite da série, que corresponde à transição do nível ligado de energia zero efetiva (ou seja, elétron livre, n_i=\infty) para n=1. Em notação de transição, isso é \infty\to1.

Passo 5

Agora convertemos essa energia máxima em comprimento de onda. A relação entre energia de um fóton E (em eV) e seu comprimento de onda \lambda (em nm) é conveniente usando hc em unidades eV·nm:
E \\ (\text{eV}) = \dfrac{hc}{\lambda}\quad\Rightarrow\quad \lambda = \dfrac{hc}{E}.
Aqui usamos hc \approx 1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm} (constante de Planck vezes velocidade da luz, em unidades práticas).
Substituindo E_{\max}=13,6\\ \text{eV}:
\lambda_{\min} = \dfrac{1240\\ \text{eV}\cdot\text{nm}}{13,6\\ \text{eV}} = \dfrac{1240}{13,6}\\ \text{nm}.

Passo 6

Calcule a divisão:
\lambda_{\min} = \dfrac{1240}{13,6}\\ \text{nm} \approx 91,18\\ \text{nm}.
Arredondando de forma usual para três dígitos significativos, fica \lambda_{\min}\approx 91,2\\ \text{nm}.
Observação didática final: as linhas discretas da série Lyman (por exemplo 2\to1 com E=10,2\\ \text{eV}, \lambda\approx121,6\\ \text{nm}) têm energias menores que esse limite; a energia máxima 13,6 eV pertence ao limite da série correspondente à ionização seguida de recombinação diretamente para n=1 — na prática, costuma-se dizer que a maior energia (menor comprimento de onda) da série é a transição \infty\to1, com \lambda igual ao chamado limite de Lyman.

Resposta

\lambda_{\text{máx. energia}} \approx 91{,}2\\ \text{nm}á
Transição correspondente: n=\infty \to n=1

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