No átomo de hidrogênio, considere simultaneamente as séries de Balmer e Paschen.
Determine:
  • qual das duas séries possui a radiação de menor energia
  • calcule os comprimentos de onda correspondentes às transições de menor energia em cada série
  • compare os resultados

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar qual das duas séries (Balmer ou Paschen) possui a radiação de menor energia.
  • Calcular os comprimentos de onda correspondentes às transições de menor energia em cada série.
  • Comparar os resultados obtidos.
Informações relevantes (já conhecidas para o átomo de hidrogênio):
  • Série de Balmer: transições com nível final n_f=2.
  • Série de Paschen: transições com nível final n_f=3.
  • Fórmula útil (Rydberg para hidrogênio): \frac{1}{\lambda}=R_H\!\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),
onde R_H é a constante de Rydberg para o hidrogênio (valor numérico será usado mais adiante), n_i é o nível inicial ( n_i>n_f) e n_f o nível final.

Passo 2

Entendendo fisicamente e matematicamente a energia dos fótons emitidos:
  • Os níveis de energia do elétron no átomo de hidrogênio são discretos e descritos, em módulo, pela dependência 1/n^2. A energia de um fóton emitido numa transição n_i\to n_f é a diferença entre os níveis:
\Delta E = E_{i}-E_{f}.
  • Em termos de comprimento de onda, a relação de Rydberg dá a frequência/onda do fóton emitido conforme escrito no Passo 1. Aqui:
    • R_H é a constante de Rydberg (em unidades de \mathrm{m^{-1}}),
    • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido,
    • n_i é o nível inicial (inteiro maior que n_f),
    • n_f é o nível final (fixo para cada série: 2 para Balmer, 3 para Paschen).
Vou usar o valor numérico padrão para a constante de Rydberg:
R_H = 1,097373156\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Qual transição em cada série dá a radiação de menor energia?
  • Para uma série fixada por n_f, a energia do fóton emitido é proporcional a \left(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2}\right). Se n_i aumenta, \dfrac{1}{n_i^2} diminui, e portanto a diferença aumenta: quanto maior n_i, maior a energia do fóton.
  • Logo a energia do fóton é mínima quando n_i é o menor possível acima de n_f, isto é n_i=n_f+1.
  • Portanto:
    • Série de Balmer ( n_f=2 ): transição de menor energia é n_i=3\to n_f=2.
    • Série de Paschen ( n_f=3 ): transição de menor energia é n_i=4\to n_f=3.

Passo 4

Cálculo do comprimento de onda para a transição de menor energia da série de Balmer ( 3\to2):
  • Aplicando Rydberg:
\frac{1}{\lambda_{3\to2}}=R_H\!\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right) =R_H\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right) =R_H\cdot\frac{5}{36}.
  • Invertendo,
\lambda_{3\to2}=\frac{36}{5\,R_H}=\frac{7,2}{R_H}.
  • Substituindo R_H=1,097373156\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}:
\lambda_{3\to2}=\frac{7,2}{1,097373156\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx 6,5628\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros:
\lambda_{3\to2}\approx 656,28\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Cálculo do comprimento de onda para a transição de menor energia da série de Paschen ( 4\to3):
  • Aplicando Rydberg:
\frac{1}{\lambda_{4\to3}}=R_H\!\left(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\right) =R_H\!\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right) =R_H\cdot\frac{7}{144}.
  • Invertendo,
\lambda_{4\to3}=\frac{144}{7\,R_H}=\frac{20,57142857}{R_H}.
  • Substituindo R_H=1,097373156\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}:
\lambda_{4\to3}=\frac{20,57142857}{1,097373156\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx 1,8751\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para nanômetros:
\lambda_{4\to3}\approx 1875,1\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Cálculo das energias dos fótons (para comparação numérica):
  • Use E=\dfrac{hc}{\lambda} com h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s} e c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Constante hc\approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Energia da transição 3\to2:
E_{3\to2}=\frac{hc}{\lambda_{3\to2}} \approx\frac{1,98644586\times10^{-25}}{6,5628\times10^{-7}}\\ \mathrm{J} \approx 3,028\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts ( 1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}):
E_{3\to2}\approx\frac{3,028\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 1,89\\ \mathrm{eV}.
  • Energia da transição 4\to3:
E_{4\to3}=\frac{hc}{\lambda_{4\to3}} \approx\frac{1,98644586\times10^{-25}}{1,8751\times10^{-6}}\\ \mathrm{J} \approx 1,059\times10^{-19}\\ \mathrm{J},
E_{4\to3}\approx\frac{1,059\times10^{-19}}{1,602176634\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 0,662\\ \mathrm{eV}.

Passo 7

Comparação e conclusão final (resumindo o que os números mostram):
  • A série de Paschen (transição 4\to3 com \lambda\approx1875,1\\ \mathrm{nm}) tem comprimento de onda maior e, portanto fótons de menor energia ( E\approx0,662\\ \mathrm{eV}).
  • A série de Balmer (transição 3\to2 com \lambda\approx656,28\\ \mathrm{nm}) tem comprimento de onda menor e fótons de maior energia ( E\approx1,89\\ \mathrm{eV}).
  • Em palavras: a Paschen emite na região do infravermelho (maior \lambda, menor E), enquanto a Balmer tem linhas visíveis (por exemplo 656,3\\ \mathrm{nm} é o famoso H‑alpha, luz vermelha) e, portanto fótons de energia maior.

Resposta

Paschen (a série de Paschen possui a radiação de menor energia).
Balmer (menor energia: transição 3\to2): \lambda_{3\to2}\approx 6,5628\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656,28\\ \mathrm{nm}.
Paschen (menor energia: transição 4\to3): \lambda_{4\to3}\approx 1,8751\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1875,1\\ \mathrm{nm}.

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