Os babilônicos usavam, para o cálculo da raiz quadrada, um método de aproximações sucessivas. Para resolver \mathbf{x}= \sqrt{a}, tentavam uma primeira aproximação \mathbf{a}_{1}. A segunda aproximação era obtida por \mathbf{b}_{1}=a / a_{1}, tendo como base o fato de que se a_{1} \approx \sqrt{ } a, então b_{1} \approx a / \sqrt{ } a=\sqrt{ } a. Evidentemente, se a_{1} é menor do que o valor de \sqrt{a} procurado, então b_{1} é maior do que esse valor e vice-versa. Assim, a aproximação seguinte pode ser tomada como a média aritmética \mathbf{a}_{\mathbf{2}}=\mathbf{1} / \mathbf{2}\left(\mathbf{a}_{1}+\mathbf{b}_{1}\right). O processo continua, fazendo b_{2}=a / a_{2} e tomando como aproximação seguinte a_{3}=1 / 2\left(a_{2}+b_{2}\right). Tem-se assim um método iterativo, que poderia ter trazido para a ciência matemática, ainda em processo de gestação, a noçāo de infinito.
Use o método babilônico do cálculo da raiz quadrada por aproximações sucessivas e, partindo de \mathbf{a}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{=} \mathbf{1 , 5}, calcule a aproximação \mathbf{a}_{3} para \sqrt{ } \mathbf{2}. Compare com o valor de \sqrt{ } \mathbf{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) usar o método babilônico (aproximações sucessivas) para obter \mathbf{a}_{3} como aproximação de \sqrt{2} partindo de \mathbf{a}_{1}=1,5; (2) comparar essa aproximação com o valor exato (numérico) de \sqrt{2}.
Dados relevantes fornecidos: \mathbf{a}_{1}=1,5 e a=2. O método define, para cada iteração, b_{n}=a / a_{n} e a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\big(a_{n}+b_{n}\big).

Passo 2

Explico o método passo a passo, de forma didática. A ideia é que, se a_{n} é uma aproximação de \sqrt{a}, então b_{n}=a/a_{n} também tende a ser uma aproximação de \sqrt{a} (porque a/\sqrt{a}=\sqrt{a}). Um fica, tipicamente, maior que \sqrt{a} e o outro menor; tomando a média aritmética
a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\big(a_{n}+b_{n}\big)
obtemos uma aproximação melhor. Aqui a é o número cuja raiz quadrada queremos (no caso a=2), a_{n} é a aproximação atual e b_{n} é o quociente a/a_{n}.

Passo 3

Calcular b_{1}. Usando a definição,
b_{1}=\frac{a}{a_{1}}=\frac{2}{1,5}.
É conveniente passar para frações exatas: 1,5=\tfrac{3}{2}, então
b_{1}=\frac{2}{3/2}=\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}.
Em decimal isso é b_{1}\approx 1,333333\ldots

Passo 4

Calcular a_{2} como a média de a_{1} e b_{1}. Em frações:
a_{2}=\tfrac{1}{2}\!\left(\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right).
Somamos as frações dentro dos parênteses: \dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}=\dfrac{9+8}{6}=\dfrac{17}{6}. Então
a_{2}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{17}{6}=\frac{17}{12}.
Em decimal isso dá a_{2}\approx 1,416666\ldots

Passo 5

Calcular b_{2}=\dfrac{a}{a_{2}}=\dfrac{2}{17/12}. Fazendo a divisão por uma fração:
b_{2}=\frac{2\cdot 12}{17}=\frac{24}{17}.
Em decimal isso é b_{2}\approx 1,4117647059\ldots

Passo 6

Calcular a_{3}=\tfrac{1}{2}\big(a_{2}+b_{2}\big). Vamos usar as frações exatas obtidas:
a_{2}=\frac{17}{12},\qquad b_{2}=\frac{24}{17}.
Somando:
\frac{17}{12}+\frac{24}{17}=\frac{17^2+24\cdot 12}{12\cdot 17}=\frac{289+288}{204}=\frac{577}{204}.
Agora a média:
a_{3}=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{577}{204}=\frac{577}{408}.
Portanto a forma exata (racional) de \mathbf{a}_{3} é \dfrac{577}{408}.

Passo 7

Converter para decimal e comparar com \sqrt{2}. Em decimal,
\frac{577}{408}\approx 1,4142156862745098.
O valor numérico conhecido de \sqrt{2} é
\sqrt{2}\approx 1,4142135623730951.
Comparando os dois, vemos que a_{3} coincide com \sqrt{2} até as primeiras seis casas decimais e difere muito pouco nas seguintes.

Passo 8

Calcular o erro absoluto para ter uma medida da precisão:
\text{erro}=\left|a_{3}-\sqrt{2}\right|\approx 1,4142156862745098-1,4142135623730951\approx 0,0000021239014147.
Isso é cerca de 2{,}12\times 10^{-6}, ou seja, uma aproximação muito boa após apenas duas iterações (de a_{1} para a_{3}).

Resposta

\displaystyle a_{3}=\frac{577}{408}\approx 1,4142156862745098
\displaystyle \sqrt{2}\approx 1,4142135623730951
\displaystyle \text{erro absoluto}\approx 0,0000021239014147

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