Os babilônicos usavam, para o cálculo da raiz quadrada, um método de aproximações sucessivas. Para resolver \mathbf{x}= \sqrt{a}, tentavam uma primeira aproximação \mathbf{a}_{1}. A segunda aproximação era obtida por \mathbf{b}_{1}=a / a_{1}, tendo como base o fato de que se a_{1} \approx \sqrt{ } a, então b_{1} \approx a / \sqrt{ } a=\sqrt{ } a. Evidentemente, se a_{1} é menor do que o valor de \sqrt{a} procurado, então b_{1} é maior do que esse valor e vice-versa. Assim, a aproximação seguinte pode ser tomada como a média aritmética \mathbf{a}_{\mathbf{2}}=\mathbf{1} / \mathbf{2}\left(\mathbf{a}_{1}+\mathbf{b}_{1}\right). O processo continua, fazendo b_{2}=a / a_{2} e tomando como aproximação seguinte a_{3}=1 / 2\left(a_{2}+b_{2}\right). Tem-se assim um método iterativo, que poderia ter trazido para a ciência matemática, ainda em processo de gestação, a noçāo de infinito.
Use o método babilônico do cálculo da raiz quadrada por aproximações sucessivas e, partindo de \mathbf{a}_{\mathbf{1}} \boldsymbol{=} \mathbf{1 , 5}, calcule a aproximação \mathbf{a}_{3} para \sqrt{ } \mathbf{2}. Compare com o valor de \sqrt{ } \mathbf{2}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) usar o método babilônico (aproximações sucessivas) para obter \mathbf{a}_{3} como aproximação de \sqrt{2} partindo de \mathbf{a}_{1}=1,5; (2) comparar essa aproximação com o valor exato (numérico) de \sqrt{2}.
Dados relevantes fornecidos: \mathbf{a}_{1}=1,5 e a=2. O método define, para cada iteração, b_{n}=a / a_{n} e a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\big(a_{n}+b_{n}\big).
Passo 2
Explico o método passo a passo, de forma didática. A ideia é que, se a_{n} é uma aproximação de \sqrt{a}, então b_{n}=a/a_{n} também tende a ser uma aproximação de \sqrt{a} (porque a/\sqrt{a}=\sqrt{a}). Um fica, tipicamente, maior que \sqrt{a} e o outro menor; tomando a média aritmética
a_{n+1}=\tfrac{1}{2}\big(a_{n}+b_{n}\big)
obtemos uma aproximação melhor. Aqui a é o número cuja raiz quadrada queremos (no caso a=2), a_{n} é a aproximação atual e b_{n} é o quociente a/a_{n}.
Passo 3
Calcular b_{1}. Usando a definição,
b_{1}=\frac{a}{a_{1}}=\frac{2}{1,5}.
É conveniente passar para frações exatas: 1,5=\tfrac{3}{2}, então