Um barco B, que pode se mover a
em água parada, tenta atravessar um rio
de largura 300 m que flui a
, alcançando o ponto diretamente oposto ao ponto de partida na margem S . Use
, desenhe a figura e encontre o ângulo que
faz com
e o tempo para atravessar.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
- Dados:
- A velocidade do barco em água parada é
. Vou chamá-la de (velocidade do barco em relação ao rio/água). - A velocidade da corrente do rio é
. Vou chamá-la de (velocidade do rio em relação à margem). - Largura do rio (distância a atravessar, perpendicular às margens) é
. - Relação vetorial fornecida:
(velocidade do barco em relação à margem é soma da velocidade relativa à água com a da água em relação à margem).
- A velocidade do barco em água parada é
- O que se pede:
- O ângulo que
faz com . - O tempo necessário para atravessar o rio alcançando o ponto diretamente oposto na margem (ou seja, sem ser arrastado rio abaixo).
- O ângulo que
Passo 2
Organizando o modo de resolver (e como desenhar a figura):
- Escolhe-se um sistema de eixos: eixo
paralelo ao fluxo do rio, apontando para jusante (direção da corrente); eixo perpendicular às margens, apontando da margem de partida para a margem oposta. - Na figura que se deve desenhar:
- Desenhar um vetor
horizontal para a direita com magnitude . - Desenhar um vetor
com magnitude inclinado para cima e um pouco para a esquerda (porque o barco precisa apontar contra a corrente para anular o deslocamento horizontal). - A soma
deve ficar vertical para cima (isto garante que o barco atinja o ponto diretamente oposto).
- Desenhar um vetor
- Explicação curta do objetivo vetorial: para chegar exatamente no ponto oposto, a componente horizontal (paralela ao eixo
) da velocidade em relação à margem deve ser zero. Assim, a componente horizontal de deve cancelar .
Passo 3
Escrever as componentes vetoriais e a condição de atingir o ponto oposto.
- Representando vetores em componentes (unidades em
): -
. -
com . -
.
-
- Condição para atingir o ponto diretamente oposto: componente horizontal de
é zero, logo (Interpretação: o barco deve apontar com componente horizontal de , ou seja, exatamente contra os da corrente.)
Passo 4
Determinar a componente perpendicular (através do teorema de Pitágoras) e o vetor resultante.
- Usando a magnitude conhecida de
, Substituindo :
(Escolheu-se a raiz positiva porque a componente perpendicular precisa apontar para a outra margem, ou seja, sentido positivo em
.)
- Portanto
e a velocidade em relação à margem é Assim, o barco efetivamente avança perpendicularmente à margem com velocidade .
Passo 5
Calcular o ângulo entre
e
usando produto escalar.
- Fórmula do produto escalar para o ângulo
entre dois vetores: - Aqui
.
Portanto
Logo
- Interpretação geométrica amistosa: esse ângulo é obtuso porque
aponta essencialmente para a esquerda e para cima enquanto aponta para a direita. Se preferir a medida do desvio em relação à direção contrária à corrente (ou seja, “quanto acima do sentido upstream o barco aponta”), o ângulo entre e a direção upstream (vetor ) é . Em provas geralmente pedem o ângulo entre os dois vetores como fiz acima.
Passo 6
Calcular o tempo de travessia usando a componente perpendicular da velocidade resultante.
- Largura do rio
. - Velocidade efetiva de atravessamento (componente em
) é (obtida no Passo 4). - Tempo
para percorrer a : - Converter para minutos:
Ou seja .
Passo 7
Resumo final (rápido e animador): o barco deve apontar com componente horizontal de
(contra a corrente) e componente perpendicular de
, resultando em atravessamento direto com velocidade
. Ângulo e tempo calculados acima.