Um barco B, que pode se mover a 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em água parada, tenta atravessar um rio R de largura 300 m que flui a 3 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, alcançando o ponto diretamente oposto ao ponto de partida na margem S . Use \mathbf{v}_{\mathrm{BS}}=\mathbf{v}_{\mathrm{BR}}+\mathbf{v}_{\mathrm{RS}}, desenhe a figura e encontre o ângulo que \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} faz com \mathbf{v}_{\text {RS }} e o tempo para atravessar.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
  • Dados:
    • A velocidade do barco em água parada é 5\\ \mathrm{km/h}. Vou chamá-la de \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} (velocidade do barco em relação ao rio/água).
    • A velocidade da corrente do rio é 3\\ \mathrm{km/h}. Vou chamá-la de \mathbf{v}_{\mathrm{RS}} (velocidade do rio em relação à margem).
    • Largura do rio (distância a atravessar, perpendicular às margens) é 300\\ \mathrm{m}.
    • Relação vetorial fornecida: \mathbf{v}_{\mathrm{BS}}=\mathbf{v}_{\mathrm{BR}}+\mathbf{v}_{\mathrm{RS}} (velocidade do barco em relação à margem é soma da velocidade relativa à água com a da água em relação à margem).
  • O que se pede:
    1. O ângulo que \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} faz com \mathbf{v}_{\mathrm{RS}}.
    2. O tempo necessário para atravessar o rio alcançando o ponto diretamente oposto na margem (ou seja, sem ser arrastado rio abaixo).

Passo 2

Organizando o modo de resolver (e como desenhar a figura):
  • Escolhe-se um sistema de eixos: eixo x paralelo ao fluxo do rio, apontando para jusante (direção da corrente); eixo y perpendicular às margens, apontando da margem de partida para a margem oposta.
  • Na figura que se deve desenhar:
    • Desenhar um vetor \mathbf{v}_{\mathrm{RS}} horizontal para a direita com magnitude 3\\ \mathrm{km/h}.
    • Desenhar um vetor \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} com magnitude 5\\ \mathrm{km/h} inclinado para cima e um pouco para a esquerda (porque o barco precisa apontar contra a corrente para anular o deslocamento horizontal).
    • A soma \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}+\mathbf{v}_{\mathrm{RS}}=\mathbf{v}_{\mathrm{BS}} deve ficar vertical para cima (isto garante que o barco atinja o ponto diretamente oposto).
  • Explicação curta do objetivo vetorial: para chegar exatamente no ponto oposto, a componente horizontal (paralela ao eixo x) da velocidade em relação à margem deve ser zero. Assim, a componente horizontal de \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} deve cancelar \mathbf{v}_{\mathrm{RS}}.

Passo 3

Escrever as componentes vetoriais e a condição de atingir o ponto oposto.
  • Representando vetores em componentes (unidades em \mathrm{km/h}):
    • \mathbf{v}_{\mathrm{RS}}=(3,0).
    • \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}=(v_{\mathrm{BR},x},v_{\mathrm{BR},y}) com \sqrt{v_{\mathrm{BR},x}^{2}+v_{\mathrm{BR},y}^{2}}=5.
    • \mathbf{v}_{\mathrm{BS}}=\mathbf{v}_{\mathrm{BR}}+\mathbf{v}_{\mathrm{RS}}=(v_{\mathrm{BR},x}+3,\;v_{\mathrm{BR},y}).
  • Condição para atingir o ponto diretamente oposto: componente horizontal de \mathbf{v}_{\mathrm{BS}} é zero, logo v_{\mathrm{BR},x}+3=0 \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{BR},x}=-3.(Interpretação: o barco deve apontar com componente horizontal de -3\\ \mathrm{km/h}, ou seja, exatamente contra os 3\\ \mathrm{km/h} da corrente.)

Passo 4

Determinar a componente perpendicular (através do teorema de Pitágoras) e o vetor resultante.
  • Usando a magnitude conhecida de \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}, 5^{2}=v_{\mathrm{BR},x}^{2}+v_{\mathrm{BR},y}^{2}.Substituindo v_{\mathrm{BR},x}=-3: 25 = (-3)^{2}+v_{\mathrm{BR},y}^{2} = 9 + v_{\mathrm{BR},y}^{2},
v_{\mathrm{BR},y}^{2}=25-9=16 \quad\Rightarrow\quad v_{\mathrm{BR},y}=4.
(Escolheu-se a raiz positiva porque a componente perpendicular precisa apontar para a outra margem, ou seja, sentido positivo em y.)
  • Portanto \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}=(-3,4) e a velocidade em relação à margem é \mathbf{v}_{\mathrm{BS}}=\mathbf{v}_{\mathrm{BR}}+\mathbf{v}_{\mathrm{RS}} = (-3,4)+(3,0)=(0,4).Assim, o barco efetivamente avança perpendicularmente à margem com velocidade 4\\ \mathrm{km/h}.

Passo 5

Calcular o ângulo entre \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} e \mathbf{v}_{\mathrm{RS}} usando produto escalar.
  • Fórmula do produto escalar para o ângulo \theta entre dois vetores: \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta.
  • Aqui \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}\cdot\mathbf{v}_{\mathrm{RS}} = (-3)\cdot 3 + 4\cdot 0 = -9.
    Portanto -9 = | \mathbf{v}_{\mathrm{BR}}|\,| \mathbf{v}_{\mathrm{RS}}| \cos\theta = 5\cdot 3\cos\theta = 15\cos\theta,
\cos\theta = -\frac{9}{15} = -\frac{3}{5} = -0,6.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}(-0,6)\approx 126,87^\circ.
  • Interpretação geométrica amistosa: esse ângulo é obtuso porque \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} aponta essencialmente para a esquerda e para cima enquanto \mathbf{v}_{\mathrm{RS}} aponta para a direita. Se preferir a medida do desvio em relação à direção contrária à corrente (ou seja, “quanto acima do sentido upstream o barco aponta”), o ângulo entre \mathbf{v}_{\mathrm{BR}} e a direção upstream (vetor (-1,0)) é 180^\circ-126,87^\circ=53,13^\circ. Em provas geralmente pedem o ângulo entre os dois vetores como fiz acima.

Passo 6

Calcular o tempo de travessia usando a componente perpendicular da velocidade resultante.
  • Largura do rio =300\\ \mathrm{m}=0,3\\ \mathrm{km}.
  • Velocidade efetiva de atravessamento (componente em y) é v_{y}=4\\ \mathrm{km/h} (obtida no Passo 4).
  • Tempo t para percorrer 0,3\\ \mathrm{km} a 4\\ \mathrm{km/h}: t=\frac{0,3}{4}=0,075\\ \mathrm{h}.
  • Converter para minutos: 0,075\\ \mathrm{h}\times 60\\ \frac{\mathrm{min}}{\mathrm{h}}=4,5\\ \mathrm{min}.Ou seja 4,5\\ \mathrm{min}=4\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Resumo final (rápido e animador): o barco deve apontar com componente horizontal de -3\\ \mathrm{km/h} (contra a corrente) e componente perpendicular de 4\\ \mathrm{km/h}, resultando em atravessamento direto com velocidade 4\\ \mathrm{km/h}. Ângulo e tempo calculados acima.

Resposta

\theta \approx 126,87^\circ
t = 4,5\\ \mathrm{min} = 4\\ \mathrm{min}\\\ 30\\ \mathrm{s}

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