Uma barra de alumínio com 135 mm de comprimento (Io) e que possui uma seção transversal quadrada com 15,5 mm de aresta é tracionada com uma carga de 66.800 N e apresenta um alongamento 0,33 \mathrm{~mm}. Assumindo que a deformação seja inteiramente elástica, calcule o módulo de elasticidade do alumínio em GPa .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • comprimento inicial da barra: L_0 = 135\\ \mathrm{mm}.
  • seção transversal: quadrada com aresta a = 15{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • carga de tração: F = 66800\\ \mathrm{N} (peguei esse valor do enunciado).
  • alongamento observado: \Delta L = 0{,}33\\ \mathrm{mm}.
O enunciado pede:
  • Calcular o módulo de elasticidade (módulo de Young) do alumínio em \mathrm{GPa}.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática).
  • O módulo de Young E relaciona tensão (stress) e deformação (strain) na região elástica pela fórmula
E=\frac{\sigma}{\varepsilon},
onde:
  • \sigma é a tensão normal (stress), em \mathrm{Pa} (ou \mathrm{N/m^2}),
  • \varepsilon é a deformação relativa (strain), adimensional.
  • A tensão é dada por
\sigma=\frac{F}{A},
onde F é a força aplicada (em \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (em \mathrm{m^2}).
  • A deformação axial (alongamento relativo) é
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é o alongamento e L_0 é o comprimento inicial (ambos nas mesmas unidades, adimensional ao dividir).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Converter unidades para o Sistema Internacional (SI) porque E será calculado em \mathrm{Pa} e depois convertido para \mathrm{GPa}.
  • Converter comprimentos de \mathrm{mm} para \mathrm{m}:
L_0 = 135\\ \mathrm{mm} = 0{,}135\\ \mathrm{m}, \qquad \Delta L = 0{,}33\\ \mathrm{mm} = 0{,}00033\\ \mathrm{m}, \qquad a = 15{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}0155\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a área da seção quadrada. Para aresta a, a área é
A = a^2.
Substituindo:
A = (0{,}0155\\ \mathrm{m})^2 = 0{,}00024025\\ \mathrm{m^2}.
Explicação curta: ao elevar ao quadrado, a unidade \mathrm{m} vira \mathrm{m^2}, portanto a área está em \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular a tensão \sigma usando \sigma=F/A.
Substituindo os valores (force em \mathrm{N}, área em \mathrm{m^2}):
\sigma=\frac{66800}{0{,}00024025}\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo a divisão:
\sigma \approx 278043700\\ \mathrm{Pa} \approx 2,780437\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Comentário didático: \mathrm{Pa} (pascal) = \mathrm{N/m^2}. Muitas vezes é conveniente trabalhar em \mathrm{MPa} (1 \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}). Aqui \sigma\approx 278{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Calcular a deformação \varepsilon usando \varepsilon=\Delta L/L_0.
Substituindo (ambos em \mathrm{m} ou em \mathrm{mm}, o quociente é o mesmo):
\varepsilon=\frac{0{,}00033}{0{,}135}=\frac{0{,}33}{135}= \frac{11}{4500}\approx 0{,}00244444.
Explicação: a deformação é adimensional e costuma ser pequena (aqui cerca de 2{,}44\times10^{-3}, ou 0{,}244\%).

Passo 7

Agora calcular o módulo de elasticidade E=\sigma/\varepsilon.
Substituindo os valores numéricos:
E=\frac{278043700}{0{,}00244444}\\ \mathrm{Pa}.
Fazendo a conta:
E\approx 1{,}1374515\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Converter o resultado para \mathrm{GPa}. Lembrando que 1\\ \mathrm{GPa}=10^{9}\\ \mathrm{Pa}, então:
E\approx \frac{1{,}1374515\times10^{11}}{10^{9}}\\ \mathrm{GPa}=113{,}74515\\ \mathrm{GPa}.
Arredondando de forma razoável (dados com 3 algarismos significativos), dá aproximadamente 113{,}7\\ \mathrm{GPa}.

Resposta

113{,}7\\ \mathrm{GPa}

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