Uma barra de alumínio com 0,70 \mathrm{~cm} de diâmetro é trefilada até um arame com 0,48 \mathrm{~cm} de diâmetro. O semi-ângulo vale 12^{\circ}. Calcular a tensão de trefilação para \sigma 0=30,2 \times 10^{2} \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} ; \mu=0,4;

Passo 1

O enunciado dá uma barra (barra inicial) de alumínio que tem diâmetro 0,70\\ \mathrm{cm} e é trefilada até um arame de diâmetro 0,48\\ \mathrm{cm}. O semi‑ângulo do alargador (die) é 12^\circ. Os dados numéricos fornecidos são:
  • D_0 = 0,70\\ \mathrm{cm} (diâmetro inicial),
  • D_1 = 0,48\\ \mathrm{cm} (diâmetro final),
  • semi‑ângulo do cone: \alpha = 12^\circ,
  • tensão de escoamento média (ou tensão média de deformação) \sigma_0 = 30,2\times10^{2}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
  • coeficiente de atrito \mu = 0,4.
O que o enunciado pede: calcular a tensão de trefilação (ou seja, a tensão de tração necessária para trefilar o arame). Vou apresentar passo a passo como chegar a esse valor e explicar as fórmulas usadas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicação didática).
  • Quando um volume metálico tem sua seção reduzida de A_0 para A_1 sem mudança de massa, a deformação verdadeira (strain de Hencky) associada à redução de área é
\varepsilon = \ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_1}\right).
Aqui A é a área da secção transversal. Essa é a medida natural de deformação para processos com compressão/estiramento que conserva volume localmente (no caso de trefilação a área diminui).
  • Para um material com uma tensão média de fluxo \sigma_0 (valor médio da tensão durante o escoamento plástico), o trabalho de deformação por unidade de volume, desprezando atrito, é aproximadamente \sigma_0 \varepsilon. Assim a contribuição da deformação para a tensão de tração é proporcional a \sigma_0 \varepsilon.
  • O atrito no interior do cone adiciona trabalho extra. Para o caso simplificado de trefilação por cono cônico com semi‑ângulo \alpha e coeficiente de atrito \mu, essa contribuição pode ser considerada proporcional a \mu \cot\alpha vezes a componente de deformação. Em muitos tratamentos didáticos e problemas de prova (modelo de fluxo plástico com tensão média \sigma_0 e atrito Coulombiano), a tensão de trefilação é estimada pela fórmula simples:
\sigma_t = \sigma_0\,\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_1}\right)\left(1+\mu\cot\alpha\right).
Explicação das variáveis nesta fórmula:
  • \sigma_t é a tensão de trefilação (tensão média necessária para puxar o fio, em \mathrm{kgf/cm^2}).
  • \sigma_0 é a tensão média de escoamento fornecida ( \mathrm{kgf/cm^2}).
  • \dfrac{A_0}{A_1} é a razão das áreas transversal inicial e final (adiantando: A\propto D^2 para seção circular).
  • \mu é o coeficiente de atrito.
  • \alpha é o semi‑ângulo do die (em radianos ou graus ao calcular \cot\alpha).
Observação: esse é um modelo clássico e prático para exercícios de prova; trata o material com tensão média constante durante a deformação e inclui uma estimativa simples do efeito do atrito. Em problemas reais pode haver fatores adicionais, mas para prova essa fórmula é aceitável e muito usada.

Passo 3

Calcular a razão das áreas A_0/A_1 em termos dos diâmetros. Para secção circular A=\pi D^2/4, então
\dfrac{A_0}{A_1}=\dfrac{D_0^2}{D_1^2}=\left(\dfrac{D_0}{D_1}\right)^2.
Calculemos primeiro \dfrac{D_0}{D_1}:
\dfrac{D_0}{D_1}=\dfrac{0,70}{0,48}.

Passo 4

Avaliar numericamente \dfrac{D_0}{D_1} e \ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_1}\right).
  • Calcule \dfrac{D_0}{D_1}:
\dfrac{D_0}{D_1}=\dfrac{0,70}{0,48}\approx 1,458333\ldots
  • Então
\dfrac{A_0}{A_1}=\left(1,458333\ldots\right)^2 \approx 2,1267\ldots
  • A deformação verdadeira é
\varepsilon=\ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_1}\right)=\ln(2,1267\ldots)\approx 0,7520.
(Obs.: também note que \varepsilon=2\ln(D_0/D_1)=2\times0,3760\ldots, de onde saiu 0,7520.)

Passo 5

Calcular \cot\alpha para \alpha=12^\circ. Primeiro a tangente:
\tan(12^\circ)\approx 0,2125566,
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\cot(12^\circ)=\dfrac{1}{\tan(12^\circ)}\approx 4,70463.
Com \mu=0,4 temos
\mu\cot\alpha = 0,4\times 4,70463 \approx 1,88185.
Então o fator total de correção por atrito é
1+\mu\cot\alpha \approx 1+1,88185 = 2,88185.

Passo 6

Agora aplicar a fórmula
\sigma_t = \sigma_0\,\varepsilon\left(1+\mu\cot\alpha\right).
Substituindo valores numéricos (antes verifiquei \sigma_0=30,2\times10^{2}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}=3020\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}):
\sigma_t = 3020 \times 0,7520 \times 2,88185.
Calcule passo a passo:
3020 \times 0,7520 \approx 2271,04\\ \mathrm{kgf/cm^{2}},
2271,04 \times 2,88185 \approx 6542,8\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida: o valor obtido é a tensão média de tração necessária para trefilar o fio nas condições dadas, considerando o modelo com tensão de fluxo média \sigma_0 e atrito Coulombiano no die. A unidade está em \mathrm{kgf/cm^{2}}, compatível com os dados iniciais.

Resposta

\sigma_t \approx 6{,}543\times10^{3}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}

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