Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740^{\circ} \mathrm{C}. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40^{\circ} \mathrm{C}. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função
T(t)=\left(T_{0}-T_{A R}\right) \times 10^{-t / 12}+T_{A R}
Sendo to tempo em minutos, T_{0} a temperatura inicial e T_{A R} a temperatura do ar. Com essa função, concluímos que o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140^{\circ} \mathrm{C} é dado pela seguinte expressão, com o log na base 10:
a) 12[\log (7)-1] minutos.
b) 12[1-\log (7)] minutos.
c) 12 \log (7) minutos.
d) [1-\log (7)] / 12 minutos.

Passo 1

O enunciado dá uma função da temperatura no centro do cilindro em função do tempo t (minutos):
T(t)=\left(T_{0}-T_{A R}\right)\times 10^{-t/12}+T_{A R}
As informações numéricas fornecidas são:
T_{0}=740^\circ\mathrm{C},\qquad T_{A R}=40^\circ\mathrm{C}
A pergunta é: qual é o tempo t (em minutos) para que T(t)=140^\circ\mathrm{C}? O enunciado pede a expressão correspondente, com logaritmo na base 10.

Passo 2

Substituímos os valores conhecidos na equação e igualamos a 140^\circ\mathrm{C}. Primeiro calculemos a diferença inicial:
T_{0}-T_{A R}=740-40=700.
Então a equação fica
700\times 10^{-t/12}+40=140.

Passo 3

Isolamos o termo exponencial. Subtraindo 40 de ambos os lados:
700\times 10^{-t/12}=100.
Agora dividimos ambos os lados por 700:
10^{-t/12}=\frac{100}{700}=\frac{1}{7}.

Passo 4

Para resolver uma equação da forma 10^{x}=y usamos o logaritmo na base 10: \log(10^{x})=x. Aplicando \log em ambos os lados da equação obtida:
\log\!\left(10^{-t/12}\right)=\log\!\left(\frac{1}{7}\right).
Pela propriedade do logaritmo temos no lado esquerdo:
\log\!\left(10^{-t/12}\right)=-\frac{t}{12}.
E no lado direito usamos a propriedade \log\!\left(\frac{1}{7}\right)=\log(1)-\log(7)=0-\log(7)=-\log(7).

Passo 5

Igualando as duas expressões:
-\frac{t}{12}=-\log(7).
Multiplicando ambos os lados por -1 e depois por 12:
\frac{t}{12}=\log(7)\quad\Rightarrow\quad t=12\log(7).
Esse valor é positivo (pois \log(7)>0), faz sentido fisicamente e corresponde à alternativa (c).

Resposta

c) 12\log(7) minutos.

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