Uma barra de metal de
inicialmente a
é retirada de um forno e resfriada rapidamente por imersão em um tanque fechado contendo 10 kg de água inicialmente a 250
C. Cada substância pode ser modelada como incompressível. Um valor apropriado para o calor específico constante da água é
, e um valor apropriado para o metal é
. A transferência de calor do conteúdo do tanque pode ser desprezada. Determine (a) a temperatura de equilíbrio final da barra de metal e da água, em
, e (b) a quantidade de entropia produzida, em kJ/K.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes valores diretamente do enunciado):
- Massa da barra de metal:
. - Temperatura inicial da barra de metal:
. - Massa da água no tanque:
. - Temperatura inicial da água:
. - Calor específico da água (constante):
. - Calor específico do metal (constante):
. - O tanque é fechado e a transferência de calor do conteúdo do tanque com o meio externo pode ser desprezada (sistema isolado quanto à energia).
- Ambas as substâncias são tratadas como incompressíveis e com capacidades térmicas constantes.
O enunciado pede:
(a) a temperatura de equilíbrio final (em
);
(b) a quantidade de entropia produzida (em ).
(a) a temperatura de equilíbrio final
(b) a quantidade de entropia produzida (em
Passo 2
Princípio de conservação de energia (primeira lei, aplicado ao sistema água+metal, isolado quanto à energia): o calor perdido pelo metal é igual ao calor ganho pela água até o equilíbrio térmico.
Para capacidades térmicas constantes a expressão do calor trocado é
, com
. Assim a equação de balanço de energia é
Aqui usei o sinal conveniente: o metal perde energia (termicamente do quente para o frio), a água ganha.
Agora substituo os números e resolvo para
.
Passo 3
Substituindo os valores:
Calculo o produto das massas pelos calores específicos:
Portanto a equação fica
Passo 4
Desenvolvendo a equação:
Calculo
:
Logo:
Passo todos os termos com
para o lado direito e os constantes para o esquerdo:
Somando:
Logo
Podemos escrever com precisão razoável:
(Interpretação física rápida: a água já estava muito quente (
), então a barra fria um pouco a água até cerca de
; o metal ainda permanece bem quente, mas desalocou energia para a grande massa de água.)
Passo 5
Agora calculamos a entropia produzida. Num processo isolado, a entropia gerada é o aumento de entropia total do sistema água+metal:
Para cada corpo com calor específico constante vale a fórmula (usar temperaturas em kelvin):
onde
.
Vou converter as temperaturas para kelvin:
Passo 6
Calculo da variação de entropia do metal:
Primeiro
. O quociente de temperaturas é aproximadamente
. Calculando o logaritmo natural:
portanto
(O sinal negativo indica que o metal perdeu entropia ao esfriar.)
Passo 7
Calculo da variação de entropia da água:
Aqui
. O quociente de temperaturas é aproximadamente
. Usando expansão para
ou calculadora:
então
Passo 8
Entropia total (entropia produzida):
Arredondando com precisão compatível aos dados (duas ou três casas significativas):
Observação didática rápida: a entropia total aumentou (valor positivo), conforme a segunda lei — mesmo sendo um sistema isolado em energia, o processo irreversível de mistura de calor gera entropia. Repare que usamos temperaturas absolutas (kelvin) dentro do logaritmo; usar Celsius nas razões daria resultados incorretos.