Uma barra de metal de 0,5 \mathrm{~kg} inicialmente a 1000^{\circ} \mathrm{C} é retirada de um forno e resfriada rapidamente por imersão em um tanque fechado contendo 10 kg de água inicialmente a 250 { }^{\circ} C. Cada substância pode ser modelada como incompressível. Um valor apropriado para o calor específico constante da água é \mathrm{cw}=4,18 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}), e um valor apropriado para o metal é \mathrm{cm}=0,4 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}). A transferência de calor do conteúdo do tanque pode ser desprezada. Determine (a) a temperatura de equilíbrio final da barra de metal e da água, em { }^{\circ} \mathrm{C}, e (b) a quantidade de entropia produzida, em kJ/K.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (peguei estes valores diretamente do enunciado):
  • Massa da barra de metal: m_{m}=0{,}5\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da barra de metal: T_{m,i}=1000^\circ\mathrm{C}.
  • Massa da água no tanque: m_{w}=10\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial da água: T_{w,i}=250^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico da água (constante): c_{w}=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Calor específico do metal (constante): c_{m}=0{,}4\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • O tanque é fechado e a transferência de calor do conteúdo do tanque com o meio externo pode ser desprezada (sistema isolado quanto à energia).
  • Ambas as substâncias são tratadas como incompressíveis e com capacidades térmicas constantes.
O enunciado pede:
(a) a temperatura de equilíbrio final T_f (em ^\circ\mathrm{C});
(b) a quantidade de entropia produzida (em \mathrm{kJ/K}).

Passo 2

Princípio de conservação de energia (primeira lei, aplicado ao sistema água+metal, isolado quanto à energia): o calor perdido pelo metal é igual ao calor ganho pela água até o equilíbrio térmico.
Para capacidades térmicas constantes a expressão do calor trocado é Q=m c \Delta T, com \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}. Assim a equação de balanço de energia é
m_{m} c_{m} \bigl(T_{m,i}-T_{f}\bigr) \;=\; m_{w} c_{w} \bigl(T_{f}-T_{w,i}\bigr).
Aqui usei o sinal conveniente: o metal perde energia (termicamente do quente para o frio), a água ganha.
Agora substituo os números e resolvo para T_f.

Passo 3

Substituindo os valores:
0{,}5\cdot 0{,}4\bigl(1000 - T_f\bigr) = 10\cdot 4{,}18\bigl(T_f - 250\bigr).
Calculo o produto das massas pelos calores específicos:
0{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}2\quad\text{e}\quad 10\cdot 4{,}18 = 41{,}8.
Portanto a equação fica
0{,}2\,(1000 - T_f) = 41{,}8\,(T_f - 250).

Passo 4

Desenvolvendo a equação:
200 - 0{,}2\,T_f = 41{,}8\,T_f - 41{,}8\cdot 250.
Calculo 41{,}8\cdot 250:
41{,}8\cdot 250 = 41{,}8\cdot(1000/4)=41800/4=10450.
Logo:
200 - 0{,}2\,T_f = 41{,}8\,T_f - 10450.
Passo todos os termos com T_f para o lado direito e os constantes para o esquerdo:
200 + 10450 = 41{,}8\,T_f + 0{,}2\,T_f.
Somando:
10650 = 42{,}0\,T_f.
Logo
T_f = \frac{10650}{42{,}0} = 253{,}571428571\ldots ^\circ\mathrm{C}.
Podemos escrever com precisão razoável:
T_f \approx 253{,}57^\circ\mathrm{C}.
(Interpretação física rápida: a água já estava muito quente ( 250^\circ\mathrm{C}), então a barra fria um pouco a água até cerca de 253{,}6^\circ\mathrm{C}; o metal ainda permanece bem quente, mas desalocou energia para a grande massa de água.)

Passo 5

Agora calculamos a entropia produzida. Num processo isolado, a entropia gerada é o aumento de entropia total do sistema água+metal:
\Delta S_{\text{gerada}} = \Delta S_{w} + \Delta S_{m}.
Para cada corpo com calor específico constante vale a fórmula (usar temperaturas em kelvin):
\Delta S = m\,c\,\ln\!\left(\dfrac{T_{f,\mathrm{K}}}{T_{i,\mathrm{K}}}\right),
onde T_{\mathrm{K}}=T_{^\circ\mathrm{C}}+273{,}15.
Vou converter as temperaturas para kelvin:
T_{m,i} = 1000{,}0^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{m,i,\mathrm{K}} = 1000{,}0 + 273{,}15 = 1273{,}15\\ \mathrm{K},
T_{w,i} = 250{,}0^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{w,i,\mathrm{K}} = 250{,}0 + 273{,}15 = 523{,}15\\ \mathrm{K},
T_{f} = 253{,}571428571^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_{f,\mathrm{K}} = 253{,}571428571 + 273{,}15 = 526{,}721428571\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calculo da variação de entropia do metal:
\Delta S_{m} = m_{m}\,c_{m}\,\ln\!\left(\dfrac{T_{f,\mathrm{K}}}{T_{m,i,\mathrm{K}}}\right) = 0{,}5\cdot 0{,}4 \,\ln\!\left(\dfrac{526{,}721428571}{1273{,}15}\right).
Primeiro 0{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}2. O quociente de temperaturas é aproximadamente 0{,}4137. Calculando o logaritmo natural:
\ln\!\left(\dfrac{526{,}721428571}{1273{,}15}\right)\approx -0{,}8825\\ (\text{aprox.}),
portanto
\Delta S_{m} \approx 0{,}2 \times (-0{,}8825) = -0{,}1765\\ \mathrm{kJ/K}.
(O sinal negativo indica que o metal perdeu entropia ao esfriar.)

Passo 7

Calculo da variação de entropia da água:
\Delta S_{w} = m_{w}\,c_{w}\,\ln\!\left(\dfrac{T_{f,\mathrm{K}}}{T_{w,i,\mathrm{K}}}\right) = 10\cdot 4{,}18 \,\ln\!\left(\dfrac{526{,}721428571}{523{,}15}\right).
Aqui 10\cdot 4{,}18 = 41{,}8. O quociente de temperaturas é aproximadamente 1{,}00685. Usando expansão para \ln(1+x) ou calculadora:
\ln\!\left(\dfrac{526{,}721428571}{523{,}15}\right)\approx 0{,}00682\\ (\text{aprox.}),
então
\Delta S_{w} \approx 41{,}8 \times 0{,}00682 = 0{,}2854\\ \mathrm{kJ/K}.

Passo 8

Entropia total (entropia produzida):
\Delta S_{\text{gerada}} = \Delta S_{w} + \Delta S_{m} \approx 0{,}2854 + (-0{,}1765) = 0{,}1089\\ \mathrm{kJ/K}.
Arredondando com precisão compatível aos dados (duas ou três casas significativas):
\Delta S_{\text{gerada}} \approx 0{,}109\\ \mathrm{kJ/K}.
Observação didática rápida: a entropia total aumentou (valor positivo), conforme a segunda lei — mesmo sendo um sistema isolado em energia, o processo irreversível de mistura de calor gera entropia. Repare que usamos temperaturas absolutas (kelvin) dentro do logaritmo; usar Celsius nas razões daria resultados incorretos.

Resposta

T_{f}\approx 253{,}57^\circ\mathrm{C}
\Delta S_{\text{gerada}}\approx 0{,}109\\ \mathrm{kJ/K}

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