Uma barra metálica com 0,3 \mathrm{~kg} \operatorname{com} T_{0}=1200 Kelvin é retirada de um forno e resfriada por imersão em um tanque fechado que contém 4 kg de água com T_{0}=300 Kelvin. Cada substância pode ser modelada como incompressível. Um valor apropriado para o calor específico da água será igual a 4,2 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK} e o valor apropriado para o metal é 0,42 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kgK}. A transferência de calor a partir do conteúdo do tanque pode ser desprezada. Determine:
A quantidade de entropia gerada em \mathrm{kJ} / \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Massa da barra metálica: m_m = 0,3\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura inicial da barra metálica: T_{m,0} = 1200\\ \mathrm{K}.
    • Massa da água: m_w = 4\\ \mathrm{kg}.
    • Temperatura inicial da água: T_{w,0} = 300\\ \mathrm{K}.
    • Calor específico do metal: c_m = 0,42\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
    • Calor específico da água: c_w = 4,2\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)}.
  • Condições do problema:
    • Tanque fechado: não há troca de energia com o exterior (energia total do sistema conservada).
    • Substâncias incompressíveis com capacidades caloríficas constantes (podemos usar c constantes).
    • Despreza-se transferência de calor do conteúdo do tanque para o exterior.
  • O enunciado pede:
    • Determinar a quantidade de entropia gerada (em \mathrm{kJ/K}) no processo de resfriamento da barra pela água.

Passo 2

Conservação de energia (primeira lei) para o sistema barra + água, sem perda externa, dá que o calor perdido pela barra é ganho pela água. Com capacidades constantes isso fica:
m_m c_m (T_{m,0}-T_f) = m_w c_w (T_f - T_{w,0}),
onde T_f é a temperatura de equilíbrio final. Rearranjando para obter T_f:
(m_m c_m + m_w c_w) T_f = m_m c_m T_{m,0} + m_w c_w T_{w,0},
portanto
T_f = \dfrac{m_m c_m T_{m,0} + m_w c_w T_{w,0}}{m_m c_m + m_w c_w}.
Agora substituímos os valores (todas as quantidades numéricas em \mathrm{kJ} e \mathrm{kJ/K} conforme unidades dadas):
m_m c_m = 0,3 \times 0,42 = 0,126\\ \mathrm{kJ/K},
m_w c_w = 4 \times 4,2 = 16,8\\ \mathrm{kJ/K},
m_m c_m T_{m,0} = 0,126 \times 1200 = 151,2\\ \mathrm{kJ},
m_w c_w T_{w,0} = 16,8 \times 300 = 5040\\ \mathrm{kJ}.
Somando:
\text{numerador} = 151,2 + 5040 = 5191,2\\ \mathrm{kJ}, \qquad \text{denominador} = 0,126 + 16,8 = 16,926\\ \mathrm{kJ/K}.
Logo
T_f = \dfrac{5191,2}{16,926} \approx 306,7\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Fórmula da variação de entropia para substância com calor específico constante:
  • Se uma substância passa de T_1 para T_2 reversivelmente, a variação de entropia é
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2} \dfrac{dQ_\text{rev}}{T}.
  • Para um corpo incompressível com c constante, dQ_\text{rev}=m c\,dT. Assim:
\Delta S = m c \int_{T_1}^{T_2} \dfrac{dT}{T} = m c \ln\!\bigg(\dfrac{T_2}{T_1}\bigg).
Aqui m é a massa ( \mathrm{kg}), c o calor específico ( \mathrm{kJ/(kg\,K)}), T_1,T_2 as temperaturas em Kelvin. A unidade de \Delta S será \mathrm{kJ/K}.
No nosso problema:
\Delta S_m = m_m c_m \ln\!\bigg(\dfrac{T_f}{T_{m,0}}\bigg) \quad\text{e}\quad \Delta S_w = m_w c_w \ln\!\bigg(\dfrac{T_f}{T_{w,0}}\bigg).
A entropia gerada no processo (geração irreversível) é a variação total de entropia do sistema:
S_\text{gerada} = \Delta S_\text{total} = \Delta S_m + \Delta S_w.
Nota: embora cada corpo possa trocar calor irreversivelmente entre si, a fórmula acima dá a variação de entropia de cada corpo ao mudar de T_1 para T_2. A soma será positiva sempre que houver irreversibilidade, como neste caso (grande diferença de temperatura inicial).

Passo 4

Calcular \Delta S_m (barra metálica):
\Delta S_m = m_m c_m \ln\!\bigg(\dfrac{T_f}{T_{m,0}}\bigg) = 0,126 \times \ln\!\bigg(\dfrac{306,7}{1200}\bigg)\\ \mathrm{kJ/K}.
Calculemos a razão e o logaritmo:
\dfrac{306,7}{1200} \approx 0,2556, \qquad \ln(0,2556) \approx -1,3649.
Então
\Delta S_m \approx 0,126 \times (-1,3649) \approx -0,1720\\ \mathrm{kJ/K}.

Passo 5

Calcular \Delta S_w (água):
\Delta S_w = m_w c_w \ln\!\bigg(\dfrac{T_f}{T_{w,0}}\bigg) = 16,8 \times \ln\!\bigg(\dfrac{306,7}{300}\bigg)\\ \mathrm{kJ/K}.
Calculemos a razão e o logaritmo:
\dfrac{306,7}{300} \approx 1,02233, \qquad \ln(1,02233) \approx 0,02209.
Então
\Delta S_w \approx 16,8 \times 0,02209 \approx 0,3712\\ \mathrm{kJ/K}.

Passo 6

Entropia gerada (variação total de entropia do sistema):
S_\text{gerada} = \Delta S_m + \Delta S_w \approx -0,1720 + 0,3712 = 0,1992\\ \mathrm{kJ/K}.
Observações rápidas:
  • O valor é positivo, como exige a segunda lei (processo irreversível).
  • Arredondando razoavelmente para três algarismos significativos, temos 0,199\\ \mathrm{kJ/K}.

Resposta

\;0,199\\ \mathrm{kJ/K}

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