1. (2,5) Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de 9,0 \mathrm{~m}, a velocidade é dada por \boldsymbol{v}=6 i+ 3 j \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. (a) Determine as coordenadas x e y da velocidade inicial da bola; (b) Quanto tempo a bola leva para tocar 0 chão? (c) Qual a distância × total percorrida pela bola?

Passo 1

O enunciado e o que se pede (coleto aqui as informações importantes):
  • A bola é lançada do chão (ou seja, posição inicial vertical \,y(0)=0,).
  • Quando a bola atinge a altura \,9{,}0\\ \mathrm{m}\, a velocidade instantânea é
\boldsymbol{v}=6\,\boldsymbol{i}+3\,\boldsymbol{j}\quad\text{(em m/s)}.
  • Perguntas:
    (a) determinar as coordenadas x e y da velocidade inicial da bola (isto é, v_{0x} e v_{0y});
    (b) quanto tempo a bola leva para tocar o chão (tempo total de voo);
    (c) qual a distância \,x total percorrida (alcance horizontal).
  • Observação física necessária (não dada no enunciado): usar aceleração gravitacional \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\, dirigida para baixo (sentido negativo em j). Vou adotar um eixo x horizontal positivo e eixo y vertical positivo para cima.

Passo 2

Relembrando as equações de movimento usadas (aula rápida):
  • Em x (sem aceleração horizontal), a velocidade horizontal é constante:
v_x(t)=v_{0x}.
  • Em y (aceleração constante -g):
v_y(t)=v_{0y}-g t,
y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2.
Aqui v_{0x} e v_{0y} são as componentes da velocidade inicial; v_x(t),v_y(t) são as componentes no instante t; y(t) é a altura no instante t; g é a constante gravitacional. Essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante: a aceleração vertical é a_y=-g, integrar dá v_y(t), integrar de novo dá y(t).

Passo 3

Usar a informação conhecida em y=9{,}0\\ \mathrm{m}. Primeiro, a componente horizontal da velocidade naquele instante é v_x=6\\ \mathrm{m/s}. Como não há aceleração horizontal, essa é a mesma em todos os instantes, inclusive no lançamento. Logo:
v_{0x}=6\\ \mathrm{m/s}.
Isso responde parte de (a) imediatamente.

Passo 4

Agora determinar v_{0y}. Seja t_1 o instante em que a bola tem altura y(t_1)=9{,}0\\ \mathrm{m}. Sabemos também v_y(t_1)=3\\ \mathrm{m/s}. Das equações:
v_y(t_1)=v_{0y}-g t_1 = 3.
Da posição:
y(t_1)=v_{0y}t_1-\tfrac{1}{2}g t_1^2 = 9.
Temos duas equações com as incógnitas v_{0y} e t_1. Vamos eliminar v_{0y}.

Passo 5

Isolando v_{0y} da primeira equação:
v_{0y}=3+g t_1.
Substituir na equação de posição:
(3+g t_1)\,t_1-\tfrac{1}{2}g t_1^2 = 9.
Desenvolvendo:
3 t_1 + g t_1^2 - \tfrac{1}{2}g t_1^2 = 9.
Agrupando o termo em t_1^2:
3 t_1 + \tfrac{1}{2}g t_1^2 = 9.

Passo 6

Colocar números (lembrando que vou usar \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}\,):
\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8\\ t_1^2 + 3 t_1 - 9 = 0.
Ou seja,
4{,}9\,t_1^2 + 3\,t_1 - 9 = 0.
Isto é uma equação quadrática padrão a t_1^2 + b t_1 + c = 0 com a=4{,}9, b=3, c=-9. A solução física é a raiz positiva.

Passo 7

Usar a fórmula de Bhaskara:
t_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},
porque a raiz com sinal mais dá tempo positivo (a raiz com sinal menos daria tempo negativo aqui). Calcular o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 3^2 - 4\cdot 4{,}9\cdot(-9) = 9 + 176{,}4 = 185{,}4.
\sqrt{\Delta} \approx 13{,}620.
Logo
t_1=\frac{-3 + 13{,}620}{2\cdot 4{,}9}=\frac{10{,}620}{9{,}8}\approx 1{,}084\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Agora achar v_{0y} usando v_{0y}=3+g t_1:
v_{0y}=3 + 9{,}8\cdot 1{,}084 \approx 3 + 10{,}617 = 13{,}617\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente:
v_{0y}\approx 13{,}62\\ \mathrm{m/s}.
Assim a resposta da parte (a) é \,v_{0x}=6{,}0\\ \mathrm{m/s}\, e \,v_{0y}\approx 13{,}62\\ \mathrm{m/s}\,.

Passo 9

Tempo total de voo (parte (b)). Como a bola parte do chão ( y(0)=0) e retorna ao chão ( y(t_{\text{total}})=0), usando y(t)=v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2 e descartando a solução t=0, obtemos a fórmula conhecida (vinda de resolver a quadrática):
t_{\text{total}}=\frac{2v_{0y}}{g}.
Explicando: a equação v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2=0 fatoriza em t(v_{0y}-\tfrac{1}{2}g t)=0, daí a outra raiz é t=2v_{0y}/g.

Passo 10

Calcular numericamente:
t_{\text{total}}=\frac{2\cdot 13{,}617}{9{,}8}\approx \frac{27{,}234}{9{,}8}\approx 2{,}78\\ \mathrm{s}.

Passo 11

Alcance horizontal x total (parte (c)). Como v_x é constante igual a v_{0x}, a distância horizontal percorrida até tocar o chão é
x_{\text{total}}=v_{0x}\,t_{\text{total}}.
Substituindo:
x_{\text{total}} = 6{,}0\cdot 2{,}78 \approx 16{,}67\\ \mathrm{m}.

Passo 12

Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais quando apropriado):
  • v_{0x}=6{,}00\\ \mathrm{m/s}.
  • v_{0y}\approx 13{,}62\\ \mathrm{m/s}.
  • t_{\text{total}}\approx 2{,}78\\ \mathrm{s}.
  • x_{\text{total}}\approx 16{,}67\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v_{0x}=6{,}00\\ \mathrm{m/s},\quad v_{0y}=13{,}62\\ \mathrm{m/s}
(b) t_{\text{total}}=2{,}78\\ \mathrm{s}
(c) x_{\text{total}}=16{,}67\\ \mathrm{m}

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