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Uma bola é atirada do chão para o ar. Quando ela atinge uma altura de
, a velocidade é dada por
. (a) Determine as coordenadas
e
da velocidade inicial da bola; (b) Quanto tempo a bola leva para tocar 0 chão? (c) Qual a distância × total percorrida pela bola?
Passo 1
O enunciado e o que se pede (coleto aqui as informações importantes):
- A bola é lançada do chão (ou seja, posição inicial vertical
,). - Quando a bola atinge a altura
a velocidade instantânea é
- Perguntas:
(a) determinar as coordenadase da velocidade inicial da bola (isto é, e );
(b) quanto tempo a bola leva para tocar o chão (tempo total de voo);
(c) qual a distânciatotal percorrida (alcance horizontal). - Observação física necessária (não dada no enunciado): usar aceleração gravitacional
dirigida para baixo (sentido negativo em ). Vou adotar um eixo horizontal positivo e eixo vertical positivo para cima.
Passo 2
Relembrando as equações de movimento usadas (aula rápida):
- Em
(sem aceleração horizontal), a velocidade horizontal é constante:
- Em
(aceleração constante ):
Aqui
e
são as componentes da velocidade inicial;
são as componentes no instante
;
é a altura no instante
;
é a constante gravitacional. Essas fórmulas vêm da integração da aceleração constante: a aceleração vertical é
, integrar dá
, integrar de novo dá
.
Passo 3
Usar a informação conhecida em
. Primeiro, a componente horizontal da velocidade naquele instante é
. Como não há aceleração horizontal, essa é a mesma em todos os instantes, inclusive no lançamento. Logo:
Isso responde parte de (a) imediatamente.
Passo 4
Agora determinar
. Seja
o instante em que a bola tem altura
. Sabemos também
. Das equações:
Da posição:
Temos duas equações com as incógnitas
e
. Vamos eliminar
.
Passo 5
Isolando
da primeira equação:
Substituir na equação de posição:
Desenvolvendo:
Agrupando o termo em
:
Passo 6
Colocar números (lembrando que vou usar
):
Ou seja,
Isto é uma equação quadrática padrão
com
,
,
. A solução física é a raiz positiva.
Passo 7
Usar a fórmula de Bhaskara:
porque a raiz com sinal mais dá tempo positivo (a raiz com sinal menos daria tempo negativo aqui). Calcular o discriminante:
Logo
Passo 8
Agora achar
usando
:
Arredondando razoavelmente:
Assim a resposta da parte (a) é
e
.
Passo 9
Tempo total de voo (parte (b)). Como a bola parte do chão (
) e retorna ao chão (
), usando
e descartando a solução
, obtemos a fórmula conhecida (vinda de resolver a quadrática):
Explicando: a equação
fatoriza em
, daí a outra raiz é
.
Passo 10
Calcular numericamente:
Passo 11
Alcance horizontal
total (parte (c)). Como
é constante igual a
, a distância horizontal percorrida até tocar o chão é
Substituindo:
Passo 12
Resumo numérico final (valores arredondados com duas casas decimais quando apropriado):
-
. -
. -
. -
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)