Uma bola de beisebol lançada horizontalmente com velocidade
caiu
enquanto percorria 17 m horizontalmente.
(i) Qual era
?
(ii) Com que (pequeno) ângulo acima da horizontal ela deveria ter sido lançada, com a mesma velocidade, para chegar à mesma altura a 17 m de distância?
(i) Qual era
(ii) Com que (pequeno) ângulo acima da horizontal ela deveria ter sido lançada, com a mesma velocidade, para chegar à mesma altura a 17 m de distância?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
- A bola foi lançada horizontalmente com velocidade inicial
. - Enquanto avançava
horizontalmente, ela caiu verticalmente. - Usar a aceleração da gravidade
(valor padrão).
Perguntas:
(i) Qual era ?
(ii) Com que (pequeno) ângulo acima da horizontal, mantendo a mesma velocidade , a bola deveria ser lançada para que ela chegue à mesma altura de lançamento quando estiver a
horizontalmente? (ou seja, para que a altura vertical naquele ponto seja igual à altura inicial)
(i) Qual era
(ii) Com que (pequeno) ângulo acima da horizontal, mantendo a mesma velocidade
Passo 2
Entendendo o movimento na vertical (para a parte (i)).
Para um lançamento horizontal, a componente vertical da velocidade inicial é zero. A equação do deslocamento vertical, tomando para baixo deslocamento positivo negativo conforme convier, é:
Para um lançamento horizontal, a componente vertical da velocidade inicial é zero. A equação do deslocamento vertical, tomando para baixo deslocamento positivo negativo conforme convier, é:
onde:
-
é a variação vertical (aqui , porque caiu ), -
é a aceleração da gravidade , -
é o tempo de voo até percorrer os horizontais.
Vamos usar essa fórmula para achar o tempo
.
Passo 3
Calcular o tempo
usando
. Substituindo
:
Isolando
:
Agora calculamos numericamente:
(Arredondei o tempo para três algarismos significativos:
.)
Passo 4
Determinar
a partir do movimento horizontal. Para lançamento horizontal, a componente horizontal da velocidade é constante e igual a
. A relação é:
onde
. Então
Substituindo
e
:
Portanto
.
Passo 5
Preparação para a parte (ii): equação de trajetória geral.
Se o lançamento tem velocidade inicial e ângulo
acima da horizontal, as componentes iniciais são:
Se o lançamento tem velocidade inicial
A posição vertical em função da posição horizontal
pode ser escrita como
Aqui
é a diferença de altura em relação ao ponto de lançamento quando o projétil percorre distância horizontal
.
Para a pergunta (ii) queremos que a bola “chegue à mesma altura” ao atingir
, isto é
. Então devemos resolver
Passo 6
Resolver aproximadamente para
usando aproximação de ângulo pequeno. Para ângulos pequenos (em radianos) vale
e
. Com essa aproximação a equação
fica:
Isolando
:
Mas observe uma simplificação útil: da parte (i) já temos que
foi tal que ao lançar horizontalmente a bola caiu
em
. Desses dados segue a relação
Substituindo essa expressão em
obtém-se
Portanto, com a aproximação de pequeno ângulo temos
Passo 7
Calcular o ângulo em graus. Usando
pequeno,
em radianos ≈
. Para obter em graus:
Numericamente:
Convertendo para graus:
Passo 8
Interpretação e checagem rápida: o ângulo é pequeno (≈3°), então a aproximação
e
está justificada numericamente. Assim o resultado é consistente.
Resposta
(i)
(ii)
(ii)