Uma bola pequena flutua no centro de uma piscina circular com 5 m de raio. Três geradores de onda estão posicionados na borda da piscina, separados por 120^{\circ} \mathrm{um} do outro. O primeiro gerador de onda opera na frequência de 2 Hz . O segundo deles opera na frequência de 3 Hz , e o terceiro, em 4 Hz . Se a velocidade de qualquer onda na água for de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e suas amplitudes forem iguais, esboce um desenho indicando a altura da bola em função do tempo, desde t=0 até \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}, considerando a superfície da água não perturbada como o nível de altura nula.
Considere também que todos os geradores de onda começam a funcionar com uma constante de fase nula. De que maneira sua resposta mudaria se um dos geradores de onda fosse movido para uma posição diferente ao longo da borda da piscina?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (vou listar tudo certinho para a gente não se perder):
  • Pedido principal: esboçar a altura da bola no centro da piscina (tomando a superfície não perturbada como nível zero) em função do tempo, desde t=0 até t=2\\ \text{s}.
  • Pedido secundário: comentar como a resposta mudaria se um dos geradores fosse movido para uma posição diferente ao longo da borda.
  • Dados numéricos (peguei todos do enunciado):
    • Raio da piscina: R=5\\ \text{m}.
    • Três geradores colocados na borda, separados por 120^\circ entre si.
    • Frequências: f_1=2\\ \text{Hz}, f_2=3\\ \text{Hz}, f_3=4\\ \text{Hz.})
    • Velocidade das ondas na água: v=5\\ \text{m/s}.
    • Amplitudes iguais (vou chamar cada amplitude de A).
    • Todos os geradores começam a operar em t=0 com fase inicial zero.
  • Observações importantes para a resolução:
    • A bola está exatamente no centro, portanto a distância de cada gerador até a bola é R.
    • Como as ondas se propagam com velocidade finita, haverá um tempo de atraso (tempo de propagação) até que a oscilação gerada na borda chegue ao centro. Precisamos levar isso em conta (causalidade).
  • A partir daqui eu vou modelar cada gerador como uma fonte de onda harmônica simples e somar as contribuições no centro (superposição linear).

Passo 2

Como modelar a onda de cada gerador (aulas rápidas e necessárias, sem pular etapas)
  • Uma onda harmônica emisssa por uma fonte com frequência f pode ser descrita, no ponto de emissão, por \sin(\omega t + \phi_0), onde:
    • \omega é a frequência angular: \omega = 2\pi f.
    • \phi_0 é a fase inicial (aqui \phi_0=0).
  • Quando essa onda percorre uma distância r até um ponto de observação, sua fase sofre uma defasagem espacial. Para uma onda senoidal viajando radialmente, a forma no ponto a distância r pode ser escrita como
\sin\!\bigl(\omega t - k r + \phi_0\bigr),
onde k é o número de onda e k=\omega/v. Substituindo k=\omega/v
\sin\!\bigl(\omega t - \omega r/v + \phi_0\bigr)=\sin\!\bigl(\omega (t - r/v) + \phi_0\bigr).
  • Interpretação física: observar a oscilação em t no ponto distante r equivale a observar o sinal que foi gerado em instantes anteriores, com atraso r/v. Esse atraso é o tempo de viagem da onda.
  • No nosso caso: todos os geradores têm \phi_0=0 e a bola fica no centro a distância r=R de cada um; portanto cada contribuição no centro será \sin(\omega (t-R/v)) (multiplicada por A).

Passo 3

Calcular o atraso numérico e as frequências angulares
  • Distância do gerador ao centro: r=R=5\\ \text{m}.
  • Velocidade das ondas: v=5\\ \text{m/s}.
  • Logo o tempo de propagação (atraso) é
\tau=\frac{R}{v}=\frac{5}{5}=1\\ \text{s}.
  • Frequências angulares:
\omega_1=2\pi f_1=2\pi\cdot 2 = 4\pi\\ \text{rad/s},
\omega_2=2\pi f_2=2\pi\cdot 3 = 6\pi\\ \text{rad/s},
\omega_3=2\pi f_3=2\pi\cdot 4 = 8\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Escrever a expressão para a altura da superfície no centro (superposição)
  • Cada gerador dá uma contribuição (assumindo linearidade e amplitudes iguais A):
h_1(t)=A\sin\!\bigl(\omega_1 (t-\tau)\bigr), \qquad h_2(t)=A\sin\!\bigl(\omega_2 (t-\tau)\bigr), \qquad h_3(t)=A\sin\!\bigl(\omega_3 (t-\tau)\bigr).
  • A altura total h(t) é a soma:
h(t)=h_1(t)+h_2(t)+h_3(t)=A\Bigl[\sin\!\bigl(\omega_1 (t-\tau)\bigr)+\sin\!\bigl(\omega_2 (t-\tau)\bigr)+\sin\!\bigl(\omega_3 (t-\tau)\bigr)\Bigr].
  • Substituindo os valores calculados ( \tau=1\\ \text{s} e \omega_i numéricos):
h(t)=A\Bigl[\sin\!\bigl(4\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(6\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(8\pi (t-1)\bigr)\Bigr].

Passo 5

Impor a causalidade física (o que acontece antes de as ondas chegarem)
  • Os geradores começam a funcionar em t=0, mas a primeira perturbação só chega ao centro em t=\tau=1\\ \text{s}.
  • Portanto fisicamente a altura da bola permanece em 0 para 0\le t<1\\ \text{s}.
  • Para t\ge 1\\ \text{s} vale a expressão obtida no passo anterior.
  • Assim, a forma correta, fisicamente, é a função em pedaços:
h(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\[4pt] A\Bigl[\sin\!\bigl(4\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(6\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(8\pi (t-1)\bigr)\Bigr], & 1\le t\le 2. \end{cases}]

Passo 6

Propriedades temporais importantes (ajuda a esboçar)
  • Observe que f_1,f_2,f_3 são inteiros múltiplos de 1\\ \text{Hz} (respectivamente 2,3,4 Hz). Isso implica que a soma das três senoides é periódica com período T=1\\ \text{s} (o mínimo comum período).
  • Como temos o fator (t-1), o padrão periódico aparece deslocado para começar a partir de t=1\\ \text{s}. Logo, no intervalo pedido t\in[0,2] veremos:
    • de 0 a 1\\ \text{s}: nada (altura zero);
    • de 1 a 2\\ \text{s}: exatamente um período completo da soma das três senóides.
  • Portanto, no esboço: traçar uma linha em zero até t=1\\ \text{s}, depois desenhar um sinal oscilante que começa e termina em zero em t=1 e t=2, com picos e vales conforme a soma.

Passo 7

Calcular alguns pontos característicos (para guiar o esboço, sem calculadora pesada)
  • Em t=1\\ \text{s} temos t-1=0 então cada seno é zero e h(1)=0.
  • Em t=2\\ \text{s} temos t-1=1 e \sin(4\pi)=\sin(6\pi)=\sin(8\pi)=0, então h(2)=0. (confirma que é um período completo).
  • Alguns instantes intermediários fáceis:
    • t=1{,}125\\ \text{s} ( t-1=0{,}125): 4\pi\cdot 0{,}125=\tfrac{\pi}{2}\\ \Rightarrow\\ \sin=1, \qquad 6\pi\cdot 0{,}125=\tfrac{3\pi}{4}\\ \Rightarrow\\ \sin=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad 8\pi\cdot 0{,}125=\pi\\ \Rightarrow\\ \sin=0.Então h(1{,}125)=A\bigl(1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}+0\bigr)\approx 1{,}707\,A.
    • t=1{,}25\\ \text{s} ( t-1=0{,}25): 4\pi\cdot 0{,}25=\pi\\ \Rightarrow\\ \sin=0, \qquad 6\pi\cdot 0{,}25=\tfrac{3\pi}{2}\\ \Rightarrow\\ \sin=-1, \qquad 8\pi\cdot 0{,}25=2\pi\\ \Rightarrow\\ \sin=0.Então h(1{,}25)=-A.
    • t=1{,}5\\ \text{s} ( t-1=0{,}5): 4\pi\cdot 0{,}5=2\pi,\quad 6\pi\cdot 0{,}5=3\pi,\quad 8\pi\cdot 0{,}5=4\pi,todas as senos são zero, logo h(1{,}5)=0.
    • t=1{,}75\\ \text{s} ( t-1=0{,}75): 4\pi\cdot 0{,}75=3\pi\\ \Rightarrow\\ \sin=0, \qquad 6\pi\cdot 0{,}75=\tfrac{9\pi}{4}=4\pi+\tfrac{\pi}{4}\\ \Rightarrow\\ \sin=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2},
8\pi\cdot 0{,}75=6\pi\\ \Rightarrow\\ \sin=0,
então \(h(1{,}75)=A\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707\,A\). (calculando com identidades angulares simples).
  • Esses pontos te dão a forma aproximada: começa em zero em t=1, atinge um pico positivo próximo de 1{,}707A em torno de t\approx 1{,}125, passa por zero em t=1{,}5, tem um negativo em t=1{,}25 de -A (notar que ordem temporal: 1,125 vem antes de 1,25 — isso indica que a combinação tem cristas e vales não simétricos), e volta a zero em t=2.

Passo 8

Como fazer o esboço prático (passo a passo para você desenhar na prova)
  • No eixo horizontal marque t=0,\,1,\,2\\ \text{s}. No eixo vertical marque alturas em unidades de A (por exemplo -2A,-A,0,A,2A).
  • Trace uma linha horizontal em h=0 de t=0 até t=1.
  • A partir de t=1 desenhe uma oscilação que:
    • começa em 0 (em t=1),
    • tem pico positivo cerca de 1{,}707A em t\approx 1{,}125,
    • atinge -A em t=1{,}25,
    • volta a 0 em t=1{,}5,
    • tem um pequeno pico positivo \approx 0{,}707A em t\approx 1{,}75,
    • e retorna a 0 em t=2.
  • Não precisa ser desenho perfeito — o importante na prova é mostrar que você entendeu que nada chega antes de t=1 e que de 1 a 2 há um período da soma das três senoides (com os pontos característicos indicados).

Passo 9

O que muda se um gerador for movido ao longo da borda?
  • Se o gerador for movido para outra posição ao longo da borda circular (ou seja, continua sobre a circunferência de raio R):
    • A distância até o centro continua sendo R, então o tempo de propagação \tau=R/v permanece igual para esse gerador.
    • Como todos os geradores começam com fase inicial zero em t=0, não há diferença de fase extra introduzida pelo ângulo da posição quando se observa o centro — a defasagem espacial depende apenas da distância radial até o ponto observado, e essa distância é a mesma para qualquer ponto na borda.
    • Conclusão: mover um gerador ao longo da borda NÃO altera a oscilação no centro (nem o instante em que começa a oscilar, nem a forma do sinal), desde que:
      • o gerador permaneça na borda (mesmo R), e
      • mantivermos amplitude e fase inicial iguais.
  • Situação diferente: se o gerador for movido para fora da borda ou para dentro (mudando a distância ao centro), então o tempo de chegada muda e, portanto, haverá uma defasagem relativa diferente na contribuição desse gerador — isso altera o padrão de interferência e, consequentemente, a forma de h(t). Além disso, na vida real a amplitude também pode decair com distância, o que também mudaria a soma.

Resposta

h(t)=\begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\[6pt] A\Bigl[\sin\!\bigl(4\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(6\pi (t-1)\bigr)+\sin\!\bigl(8\pi (t-1)\bigr)\Bigr], & 1\le t\le 2. \end{cases}
Mover um gerador para outra posição ao longo da borda (mantendo-o sobre a circunferência de raio R) não altera h(t) no centro; se a posição mudar a distância até o centro, então haverá uma defasagem temporal e a forma de h(t) mudará.]

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