c) Calcule x=\sqrt{1111111111-22222}.

Passo 1

O que o exercício pede e quais dados temos.
  • Pede-se calcular x=\sqrt{1111111111-22222}.
  • Informação dada: os dois números dentro da raiz são 1111111111 e 22222.
  • Objetivo: subtrair esses números e extrair a raiz quadrada do resultado.

Passo 2

Fazer a subtração de forma inteligente, procurando fator comum para simplificar.
Note que 22222=2\cdot11111. Também é útil escrever 1111111111 como um múltiplo de 11111. Observe:
1111111111 = 11111\cdot100001,
porque 11111\cdot100001=11111\cdot100000+11111=1111100000+11111=1111111111.
Agora escrevemos a diferença usando o fator 11111:
1111111111-22222 = 11111\cdot100001 - 2\cdot11111.

Passo 3

Fatorar 11111 na diferença e simplificar.
Colocando 11111 em evidência:
11111\cdot100001 - 2\cdot11111 = 11111\bigl(100001-2\bigr)=11111\cdot99999.
E 99999 também factoriza como 99999=9\cdot11111. Portanto
11111\cdot99999 = 11111\cdot(9\cdot11111)=9\cdot(11111)^2.
Assim
1111111111-22222 = 9\cdot(11111)^2.

Passo 4

Passar da forma fatorada para a raiz quadrada.
Como o número dentro da raiz é 9\cdot(11111)^2, ele é um quadrado perfeito:
1111111111-22222 = \bigl(3\cdot11111\bigr)^2.
Portanto a raiz quadrada é simplesmente
\sqrt{1111111111-22222}=3\cdot11111=33333.

Passo 5

Verificação numérica rápida (apenas para ter segurança).
Calculemos 11111^2 por soma distributiva:
11111^2=11111\cdot(10000+1000+100+10+1)=111110000+11111000+1111100+111110+11111=123454321.
Multiplicando por 9:
9\cdot123454321=1111088889,
que é exatamente 1111111111-22222 (verificação consistente). Logo a raiz é 33333.

Resposta

33333

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