Em cada um dos casos abaixo calcule lim x 0 f(x)
f(x)=x-sin (x)x+sin (x),

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite de
x - sin(x)x + sin(x)
quando x to 0. Podemos usar a expansão em série de Taylor de sin(x) até a ordem necessária para revelar o comportamento dominante.

Passo 2

Começamos pelo desenvolvimento de Taylor de sin(x) em torno de 0:
sin(x) = x - x^36 + O(x^5)
Com isso, obtemos
x - sin(x) = x - l(x - tfracx^36 + O(x^5)r) = x^36 + O(x^5),
x + sin(x) = x + l(x - tfracx^36 + O(x^5)r) = 2x - x^36 + O(x^5) = 2xl(1 - tfracx^212 + O(x^4)r)

Passo 3

Substituindo na expressão de f(x):
f(x) = x-sin(x)x+sin(x) = x^36 + O(x^5)2xl(1 - tfracx^212 + O(x^4)r) = x^212,(1 + O(x^2))
Portanto, quando xto 0, temos f(x)to 0.

Resposta

0

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