Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por sua matriz [T]_{B} é diagonalizável. Em caso afirmativo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal. \left[\begin{array}{rrr}-9 & -4 & -4 \\\\ -8 & 3 & 4 \\\\ -16 & 8 & 7\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3, dado pela matriz na base B
Observação teórica (útil para a prova): em \mathbb{R}^3, se uma matriz tem três autovalores distintos (no corpo considerado), então ela possui três autovetores linearmente independentes e é diagonalizável. Como aqui os três autovalores são distintos (-1,15,-13), A é diagonalizável. Em seguida vamos encontrar explicitamente um autovetor associado a cada autovalor.
Da primeira equação z=-6x-y\]. Substituindo na segunda:
\[2x+3y-(-6x-y)=8x+4y=0\Rightarrow 2x+y=0\Rightarrow y=-2x.\]
Então \(z=-6x-(-2x)=-4x. Tomando x=1 (escolha de escala) resulta o autovetor
v_{2}=(1,-2,-4).
Logo o espaço próprio para \lambda=15 é \operatorname{span}\{(1,-2,-4)\}.]
A primeira equação simplificada é x-y-z=0\Rightarrow x=y+z. Substituindo nas outras equações e resolvendo, encontra-se z=2y e então x=3y. Tomando y=1 resulta o autovetor
v_{3}=(3,1,2).
Assim o espaço próprio para \lambda=-13 é \operatorname{span}\{(3,1,2)\}.
Passo 10
Os três vetores v_{1}=(0,-1,1), v_{2}=(1,-2,-4) e v_{3}=(3,1,2) correspondem a autovalores distintos -1,15,-13, logo são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. Portanto A é diagonalizável.
A matriz diagonal D associada a essa base (na ordem \{v_{1},v_{2},v_{3}\}) é a diagonal cujas entradas são os autovalores na mesma ordem:
D=\operatorname{diag}(-1,15,-13).
Resposta
Diagonalizável: sim.
Base de autovetores: \{(0,-1,1),(1,-2,-4),(3,1,2)\}.
Forma diagonal (na ordem dos autovetores acima): \operatorname{diag}(-1,15,-13).