Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por sua matriz [T]_{B} é diagonalizável. Em caso afirmativo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal. \left[\begin{array}{rrr}6 & -3 & -2 \\\\ 4 & -1 & -2 \\\\ 10 & -5 & -3\end{array}\right].
Passo 1
O enunciado dá a matriz de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base B:
Decidir se T é diagonalizável (interpreto isto como “diagonalizável sobre \mathbb{R}” porque o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3).
Caso seja diagonalizável, calcular uma base de autovetores e a forma diagonal (matriz diagonal) correspondente.
Informações relevantes dadas:
A própria matriz [T]_B acima (todos os seus coeficientes estão fornecidos).]
Passo 2
Estratégia (sem desenvolver ainda): para decidir se uma matriz real é diagonalizável sobre \mathbb{R} vou calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e verificar se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais. Se houver 3 autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a matriz é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Começo calculando o polinômio característico \chi(\lambda)=\det([T]_B-\lambda I). Escrevo a matriz [T]_B-\lambda I:
Interpretação sobre diagonalizabilidade em \mathbb{R}^3:
Como operador em \mathbb{R}^3, precisamos de três autovetores reais linearmente independentes para diagonalizar em uma matriz diagonal real. Aqui somente um autovalor é real (\lambda=2); os outros dois são complexos conjugados (\pm i). Autovetores associados a \pm i têm entradas complexas não reais, então não fornecem autovetores reais.
Portanto não existe um conjunto de três autovetores reais linearmente independentes: há, no máximo, um autovetor real (associado a \lambda=2). Conclusão preliminar: a matriz NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Antes de concluir definitivamente, calculo o autovetor real correspondente a \lambda=2 (para ilustrar e para verificar a multiplicidade geométrica):
Resolvo ([T]_B-2I)v=0. A matriz [T]_B-2I é
A dimensão do espaço próprio associado a \lambda=2 (a multiplicidade geométrica) é 1, coerente com a multiplicidade algébrica (que também é 1).]
Passo 6
Conclusão sobre diagonalização em \mathbb{R}:
Como explicado, temos apenas um autovetor real (dimensão do espaço próprio de \lambda=2 é 1) e os outros autovalores são não reais. Logo NÃO existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais. Portanto a matriz NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Observação adicional útil (para fixar o conceito): se a pergunta permitisse diagonalização sobre \mathbb{C}, então como os três autovalores \{2,i,-i\} são distintos, a matriz é diagonalizável sobre \mathbb{C}. A seguir dou rapidamente os autovetores complexos (apenas para quem quiser ver a diagonalização sobre \mathbb{C}).
Passo 7
Diagonalização sobre \mathbb{C} (opcional, leitura complementar):
Já temos um autovetor real para \lambda=2: v_1=(1,0,2)^\top.
Para \lambda=i resolvendo ([T]_B-iI)v=0 (cálculo mostrado resumidamente) obtém-se uma família de autovetores proporcionais a, por exemplo,
As colunas v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes sobre \mathbb{C}, e a matriz que as tem como colunas diagonaliza [T]_B sobre \mathbb{C} produzindo a diagonal
\operatorname{diag}(2,i,-i).]
Resposta
Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C}; autovalores \;2,i,-i, por exemplo autovetores complexos independentes \;v_1=(1,0,2)^\top,\;v_2=(2,2,3-i)^\top,\;v_3=(2,2,3+i)^\top e forma diagonal \operatorname{diag}(2,i,-i).