Em cada um dos casos abaixo, decida se o operador linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dado por sua matriz [T]_{B} é diagonalizável. Em caso afirmativo, calcule uma base de autovetores e sua forma diagonal.
\left[\begin{array}{rrr}6 & -3 & -2 \\\\ 4 & -1 & -2 \\\\ 10 & -5 & -3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 na base B:
[T]_B=\begin{pmatrix}6 & -3 & -2 \\[4pt] 4 & -1 & -2 \\[4pt] 10 & -5 & -3\end{pmatrix}.
O que se pede:
  • Decidir se T é diagonalizável (interpreto isto como “diagonalizável sobre \mathbb{R}” porque o domínio e contradomínio são \mathbb{R}^3).
  • Caso seja diagonalizável, calcular uma base de autovetores e a forma diagonal (matriz diagonal) correspondente.
Informações relevantes dadas:
  • A própria matriz [T]_B acima (todos os seus coeficientes estão fornecidos).]

Passo 2

Estratégia (sem desenvolver ainda): para decidir se uma matriz real é diagonalizável sobre \mathbb{R} vou calcular o polinômio característico, encontrar os autovalores e verificar se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais. Se houver 3 autovetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, a matriz é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Começo calculando o polinômio característico \chi(\lambda)=\det([T]_B-\lambda I). Escrevo a matriz [T]_B-\lambda I:
[T]_B-\lambda I=\begin{pmatrix}6-\lambda & -3 & -2 \\[4pt] 4 & -1-\lambda & -2 \\[4pt] 10 & -5 & -3-\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Calculo o determinante passo a passo (expansão pela primeira linha):
\begin{aligned} \chi(\lambda)&=\det([T]_B-\lambda I)\\[4pt] &=(6-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\[4pt]-5 & -3-\lambda\end{pmatrix} -(-3)\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]10 & -3-\lambda\end{pmatrix} +(-2)\det\begin{pmatrix}4 & -1-\lambda\\[4pt]10 & -5\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -2\\\\ -5 & -3-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(-3-\lambda)-(-2)(-5) = (3+4\lambda+\lambda^2)-10=\lambda^2+4\lambda-7.
\det\begin{pmatrix}4 & -2\\\\ 10 & -3-\lambda\end{pmatrix} =4(-3-\lambda)-(-2)\cdot10=-12-4\lambda+20=8-4\lambda.
\det\begin{pmatrix}4 & -1-\lambda\\\\ 10 & -5\end{pmatrix} =4(-5)-( -1-\lambda)\cdot10=-20-(-10-10\lambda)=-20+10+10\lambda=-10+10\lambda.
Substituindo:
\begin{aligned} \chi(\lambda)&=(6-\lambda)(\lambda^2+4\lambda-7)+3(8-4\lambda)-2(-10+10\lambda)\\[4pt] &=(6-\lambda)(\lambda^2+4\lambda-7)+24-12\lambda+20-20\lambda. \end{aligned}
Expandindo o primeiro produto:
(6-\lambda)(\lambda^2+4\lambda-7)=6\lambda^2+24\lambda-42-(\lambda^3+4\lambda^2-7\lambda) =-\lambda^3+2\lambda^2+31\lambda-42.
Somando os termos restantes 24-12\lambda+20-20\lambda=44-32\lambda obtemos
\chi(\lambda)=-\lambda^3+2\lambda^2-\lambda+2.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente líder positivo:
\chi(\lambda)=\lambda^3-2\lambda^2+\lambda-2.]

Passo 4

Faço fatoração do polinômio característico procurando raízes racionais \pm1,\pm2. Testando:
\chi(2)=2^3-2\cdot2^2+2-2=8-8+2-2=0,
logo \lambda=2 é raiz. Dividindo \chi(\lambda) por (\lambda-2) (divisão sintética ou algébrica) encontra-se o quociente \lambda^2+1. Portanto
\chi(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda^2+1).
Os autovalores são, portanto,
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=i,\qquad \lambda_3=-i.

Passo 5

Interpretação sobre diagonalizabilidade em \mathbb{R}^3:
  • Como operador em \mathbb{R}^3, precisamos de três autovetores reais linearmente independentes para diagonalizar em uma matriz diagonal real. Aqui somente um autovalor é real ( \lambda=2); os outros dois são complexos conjugados ( \pm i). Autovetores associados a \pm i têm entradas complexas não reais, então não fornecem autovetores reais.
  • Portanto não existe um conjunto de três autovetores reais linearmente independentes: há, no máximo, um autovetor real (associado a \lambda=2). Conclusão preliminar: a matriz NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Antes de concluir definitivamente, calculo o autovetor real correspondente a \lambda=2 (para ilustrar e para verificar a multiplicidade geométrica):
Resolvo ([T]_B-2I)v=0. A matriz [T]_B-2I é
\begin{pmatrix}4 & -3 & -2 \\[4pt] 4 & -3 & -2 \\[4pt] 10 & -5 & -5\end{pmatrix}.
Equações correspondentes:
4x-3y-2z=0,\qquad 4x-3y-2z=0,\qquad 10x-5y-5z=0.
Da primeira equação 4x=3y+2z\Rightarrow x=\dfrac{3y+2z}{4}. Substituindo na terceira:
10\cdot\frac{3y+2z}{4}-5y-5z=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{15y+10z}{2}-5y-5z=0.
Multiplicando por 2:
15y+10z-10y-10z=0 \quad\Rightarrow\quad 5y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Com y=0 temos x=\dfrac{2z}{4}=\dfrac{z}{2}. Assim os vetores próprios para \lambda=2 têm a forma
v=z\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Escolhendo z=2 para evitar fração, um autovetor real é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]2\end{pmatrix}.
A dimensão do espaço próprio associado a \lambda=2 (a multiplicidade geométrica) é 1, coerente com a multiplicidade algébrica (que também é 1).]

Passo 6

Conclusão sobre diagonalização em \mathbb{R}:
  • Como explicado, temos apenas um autovetor real (dimensão do espaço próprio de \lambda=2 é 1) e os outros autovalores são não reais. Logo NÃO existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores reais. Portanto a matriz NÃO é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
Observação adicional útil (para fixar o conceito): se a pergunta permitisse diagonalização sobre \mathbb{C}, então como os três autovalores \{2,i,-i\} são distintos, a matriz é diagonalizável sobre \mathbb{C}. A seguir dou rapidamente os autovetores complexos (apenas para quem quiser ver a diagonalização sobre \mathbb{C}).

Passo 7

Diagonalização sobre \mathbb{C} (opcional, leitura complementar):
  • Já temos um autovetor real para \lambda=2: v_1=(1,0,2)^\top.
  • Para \lambda=i resolvendo ([T]_B-iI)v=0 (cálculo mostrado resumidamente) obtém-se uma família de autovetores proporcionais a, por exemplo,
v_2=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]3-i\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=-i o autovetor pode ser escolhido como o conjugado de v_2:
v_3=\begin{pmatrix}2\\[2pt]2\\[2pt]3+i\end{pmatrix}.
As colunas v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes sobre \mathbb{C}, e a matriz que as tem como colunas diagonaliza [T]_B sobre \mathbb{C} produzindo a diagonal
\operatorname{diag}(2,i,-i).]

Resposta

Não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.
É diagonalizável sobre \mathbb{C}; autovalores \;2,i,-i, por exemplo autovetores complexos independentes \;v_1=(1,0,2)^\top,\;v_2=(2,2,3-i)^\top,\;v_3=(2,2,3+i)^\top e forma diagonal \operatorname{diag}(2,i,-i).

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