Para cada uma das equações diferenciais abaixo, verifique inicialmente se ela é exata utilizando o critério dado pelo teorema de exatidão. Caso seja exata, determine a solução geral da equação.
(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}=0
(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede duas coisas:
- verificar se a equação é exata usando o critério do teorema de exatidão;
- quando for exata, encontrar a solução geral.
As informações explícitas que temos são os coeficientes diante de
(do termo em
) e de
(do termo em
):
-
; -
.
Passo 2
O que significa transformar a equação na forma diferencial exata?
Escrevemos a equação na forma de forma diferencial
Escrevemos a equação na forma de forma diferencial
Aqui já identificamos
e
no Passo 1. A definição prática de exatidão usada no teorema é: a forma é exata em um domínio quando existe uma função
tal que
Um critério simples e muito usado para decidir se tal
existe (quando
e
são suficientemente suaves) é comparar derivadas parciais:
Agora vamos aplicar esse teste com os
e
dados.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais que entram no critério:
Derivando
em relação a
:
porque
não depende de
.
Derivando
em relação a
:
porque
não depende de
.
Como
, o critério é satisfeito e a equação é exata.
Passo 4
Agora que sabemos que existe uma função potencial
com
e
, vamos construir
.
Começamos integrando
em relação a
(tratando
como constante):
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
funções puramente de
se comportam como constantes).
Passo 5
A condição
nos permite determinar
. Primeiro calcule
a partir da expressão obtida:
Devemos impor
. Mas
não depende de
, então
Integramos em
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa (podemos omitir a constante
aqui pois aparecerá novamente ao escrever a solução implícita):
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
onde
é uma constante arbitrária. Portanto a família de curvas solução é
Passo 7
(Facultativo — formatação mais elegante) Se quiser, pode completar quadrados para ver a forma geométrica das curvas:
logo
ou seja, as soluções são círculos centrados em
com raio
quando isso faz sentido.
Resposta
A equação é exata.