Para cada uma das equações diferenciais abaixo, verifique inicialmente se ela é exata utilizando o critério dado pelo teorema de exatidão. Caso seja exata, determine a solução geral da equação.
(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2x+3) + (2y-2)\,y' = 0
e pede duas coisas:
  • verificar se a equação é exata usando o critério do teorema de exatidão;
  • quando for exata, encontrar a solução geral.
As informações explícitas que temos são os coeficientes diante de 1 (do termo em dx) e de y' (do termo em dy):
  • M(x,y)=2x+3;
  • N(x,y)=2y-2.

Passo 2

O que significa transformar a equação na forma diferencial exata?
Escrevemos a equação na forma de forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Aqui já identificamos M e N no Passo 1. A definição prática de exatidão usada no teorema é: a forma é exata em um domínio quando existe uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um critério simples e muito usado para decidir se tal \Phi existe (quando M e N são suficientemente suaves) é comparar derivadas parciais:
\text{a forma é exata se}\qquad \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.é
Agora vamos aplicar esse teste com os M e N dados.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais que entram no critério:
Derivando M(x,y)=2x+3 em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=0,
porque M não depende de y.
Derivando N(x,y)=2y-2 em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=0,
porque N não depende de x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=0, o critério é satisfeito e a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que existe uma função potencial \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N, vamos construir \Phi.
Começamos integrando M em relação a x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx = \int (2x+3)\,dx = x^2 + 3x + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x funções puramente de y se comportam como constantes).

Passo 5

A condição \Phi_y=N nos permite determinar h(y). Primeiro calcule \Phi_y a partir da expressão obtida:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = h'(y).
Devemos impor h'(y)=N(x,y). Mas N(x,y)=2y-2 não depende de x, então
h'(y)=2y-2.
Integramos em y:
h(y)=\int (2y-2)\,dy = y^2 - 2y + C_0,
onde C_0 é uma constante real.

Passo 6

Substituindo h(y) em \Phi(x,y) obtemos a função potencial completa (podemos omitir a constante C_0 aqui pois aparecerá novamente ao escrever a solução implícita):
\Phi(x,y)=x^2 + 3x + y^2 - 2y.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é uma constante arbitrária. Portanto a família de curvas solução é
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C.

Passo 7

(Facultativo — formatação mais elegante) Se quiser, pode completar quadrados para ver a forma geométrica das curvas:
x^2+3x = \left(x+\tfrac{3}{2}\right)^2 - \tfrac{9}{4}, \qquad y^2-2y = (y-1)^2 -1,
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\left(x+\tfrac{3}{2}\right)^2 + (y-1)^2 = C + \tfrac{13}{4},
ou seja, as soluções são círculos centrados em \bigl(-\tfrac{3}{2},1\bigr) com raio \sqrt{C+\tfrac{13}{4}} quando isso faz sentido.

Resposta

A equação é exata.
x^2 + 3x + y^2 - 2y = C

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