Para cada função abaixo, identifique o domínio, as interceptações, as assíntotas (se houver), os intervalos de crescimento/decrescimento, máximos/mínimos relativos e a concavidade para fazer um esboço detalhado do gráfico:
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede que sejam identificados, para que se possa esboçar o gráfico de forma detalhada:
- o domínio;
- as interceptações com os eixos (zeros e intercepto em
); - as assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas);
- os intervalos de crescimento e decrescimento;
- máximos e mínimos relativos;
- a concavidade (intervalos côncavos para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
Vou resolver passo a passo cada pedido e, ao longo dos passos, explicar as ferramentas usadas.
Passo 2
Determinar o domínio.
A função é uma razão de polinômios; o denominador não pode ser zero. Então resolvemos .
A função é uma razão de polinômios; o denominador não pode ser zero. Então resolvemos
Portanto o domínio é
Passo 3
Interceptações com os eixos (zeros e intercepto em
).
- Zeros (interseção com o eixo
): resolver .
Como
não anulam o denominador (verificado), são zeros válidos. Logo as interceptações com o eixo
são os pontos
e
.
- Intercepto com o eixo
: calcular .
Portanto o intercepto em
é o ponto
.
Passo 4
Assíntota horizontal e forma que facilita a análise no infinito.
Quando o numerador e o denominador têm mesmo grau (grau aqui), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
.
Uma forma útil é escrever a função dividindo polinômios:
Quando o numerador e o denominador têm mesmo grau (grau
Uma forma útil é escrever a função dividindo polinômios:
Isso mostra que quando
o termo
, logo
assim a assíntota horizontal é
.
Passo 5
Assíntotas verticais e comportamento próximo a elas.
Os pontos onde o denominador zera são candidatos a assíntotas verticais: . Devemos estudar os limites unilaterais.
Os pontos onde o denominador zera são candidatos a assíntotas verticais:
Usando a forma
e lembrando que
:
- Para
: pequeno, perto de , logo é negativo pequeno é grande positivo. Assim
- Para
: pequeno, , então é positivo pequeno é grande negativo. Assim
- Para
: pequeno, (aprox ), produto é negativo pequeno negativo pequeno grande positivo. Logo
- Para
: pequeno, , produto positivo pequeno positivo pequeno grande negativo. Logo
Conclusão: há assíntotas verticais em
e
, com os comportamentos unilaterais acima.
Passo 6
Derivada primeira e regra do quociente (aula curta).
Para estudar crescimento/decrescimento aplicamos a regra do quociente: se com
diferenciáveis e
, então
Para estudar crescimento/decrescimento aplicamos a regra do quociente: se
Aqui
e
. Calculando:
Aplicando a regra:
Fatorando
no numerador:
Observação útil:
para todo
, então o sinal de
é o sinal de
, isto é, o sinal de
.
Passo 7
Intervalos de crescimento e decrescimento (usando o sinal de
).
Como , e o denominador é sempre positivo no domínio, temos:
Como
- Para
: é decrescente. - Para
: (ponto crítico). - Para
: é crescente.
Lembrando que os pontos
não pertencem ao domínio, as regiões ficam separadas por essas assíntotas. Portanto, em termos de intervalos no domínio:
-
é decrescente em e em . -
é crescente em e em .
Passo 8
Classificação dos extremos (análise em
).
O único ponto crítico no domínio é (onde
). Observando mudança de sinal de
: para
temos
e para
temos
. Ou seja, a derivada muda de negativa para positiva em
, portanto
é um mínimo relativo. O valor é
, então há um mínimo relativo em
.
O único ponto crítico no domínio é
Não há pontos onde
zere fora de
; não existem máximos relativos finitos no domínio.
Passo 9
Derivada segunda e concavidade (aula curta).
Partindo de , aplicamos a regra do produto/chain rule para obter
.
Partindo de
Cálculo (passo a passo):
Derivando,
O segundo termo vem da derivada de
pela regra da cadeia (derivada interna
). Simplificando:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Observação:
para todo
, então o numerador é sempre negativo. Portanto o sinal de
é oposto ao sinal de
.
- Se
então , logo . Assim é côncava para baixo em e em . - Se
então , logo . Assim é côncava para cima em .
Pontos de inflexão: seriam pontos do domínio onde
ou muda de sinal. Aqui
nunca acontece (numerador nunca nulo) e a mudança de concavidade ocorre apenas atravessando
, que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão no domínio.
Passo 10
Resumo das características úteis para o esboço do gráfico (tudo já calculado, organizado):
- Domínio:
. - Zeros:
( e ). - Intercepto em
: . - Assíntotas:
- Verticais:
e , com comportamentos unilaterais descritos no Passo 5. - Horizontal:
.
- Verticais:
- Crescimento/decrescimento:
- Decrescente em
e . - Crescente em
e .
- Decrescente em
- Extremos: mínimo relativo em
. Sem máximos relativos finitos. - Concavidade:
- Côncava para baixo em
e . - Côncava para cima em
. - Sem pontos de inflexão no domínio.
- Côncava para baixo em
- Comportamento no infinito:
(aproxima-se da assíntota horizontal ).
Instrução rápida para esboçar: desenhe as linhas verticais
(assíntotas verticais) e a linha horizontal
. Coloque os pontos
. Use monotonia e concavidade em cada intervalo para ligar os pedaços: à esquerda de
curve decrescente e côncava para baixo aproximando-se de
quando
e indo a
quando
; entre
e
decresce e é côncava para cima saindo de
em
até
; entre
e
cresce e é côncava para cima subindo de
e indo a
quando
; para
cresce e é côncava para baixo saindo de
em
e aproximando-se de
quando
.
Resposta
Domínio:
Interceptos: zeros em e
; intercepto em
em
.
Assíntotas: verticais em e
; horizontal em
.
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em e em
; crescente em
e em
.
Máximos/mínimos relativos: mínimo relativo em ; não há máximos relativos finitos.
Concavidade: côncava para cima em ; côncava para baixo em
e em
.
Interceptos: zeros em
Assíntotas: verticais em
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em
Máximos/mínimos relativos: mínimo relativo em
Concavidade: côncava para cima em