Para cada função abaixo, identifique o domínio, as interceptações, as assíntotas (se houver), os intervalos de crescimento/decrescimento, máximos/mínimos relativos e a concavidade para fazer um esboço detalhado do gráfico:
f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado dá a função racional \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1} e pede que sejam identificados, para que se possa esboçar o gráfico de forma detalhada:
  • o domínio;
  • as interceptações com os eixos (zeros e intercepto em y);
  • as assíntotas (verticais, horizontais ou oblíquas);
  • os intervalos de crescimento e decrescimento;
  • máximos e mínimos relativos;
  • a concavidade (intervalos côncavos para cima/baixo) e pontos de inflexão (se houver).
Vou resolver passo a passo cada pedido e, ao longo dos passos, explicar as ferramentas usadas.

Passo 2

Determinar o domínio.
A função é uma razão de polinômios; o denominador não pode ser zero. Então resolvemos \,x^{2}-1\neq0.
x^{2}-1\neq0\quad\Rightarrow\quad x\neq\pm1.
Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\}.

Passo 3

Interceptações com os eixos (zeros e intercepto em y).
  • Zeros (interseção com o eixo x): resolver \,x^{2}-4=0.
x^{2}-4=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm2.
Como \pm2 não anulam o denominador (verificado), são zeros válidos. Logo as interceptações com o eixo x são os pontos \,( -2,0) e \,(2,0).
  • Intercepto com o eixo y: calcular f(0).
f(0)=\frac{0^{2}-4}{0^{2}-1}=\frac{-4}{-1}=4.
Portanto o intercepto em y é o ponto \,(0,4).

Passo 4

Assíntota horizontal e forma que facilita a análise no infinito.
Quando o numerador e o denominador têm mesmo grau (grau 2 aqui), a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau: \displaystyle y=\frac{1}{1}=1.
Uma forma útil é escrever a função dividindo polinômios:
\frac{x^{2}-4}{x^{2}-1}=1+\frac{-3}{x^{2}-1}=1-\frac{3}{x^{2}-1}.
Isso mostra que quando |x|\to\infty o termo -\dfrac{3}{x^{2}-1}\to0, logo
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1,
assim a assíntota horizontal é \,y=1.

Passo 5

Assíntotas verticais e comportamento próximo a elas.
Os pontos onde o denominador zera são candidatos a assíntotas verticais: x=\pm1. Devemos estudar os limites unilaterais.
Usando a forma \,f(x)=1-\dfrac{3}{x^{2}-1} e lembrando que x^{2}-1=(x-1)(x+1):
  • Para x\to1^{-}: x-1<0 pequeno, x+1>0 perto de 2, logo x^{2}-1 é negativo pequeno \Rightarrow -\dfrac{3}{x^{2}-1} é grande positivo. Assim
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to1^{+}: x-1>0 pequeno, x+1>0, então x^{2}-1 é positivo pequeno \Rightarrow -\dfrac{3}{x^{2}-1} é grande negativo. Assim
\lim_{x\to1^{+}}f(x)=-\infty.
  • Para x\to -1^{+}: x+1>0 pequeno, x-1<0 (aprox -2), produto é negativo pequeno \Rightarrow x^{2}-1 negativo pequeno \Rightarrow -\dfrac{3}{x^{2}-1} grande positivo. Logo
\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=+\infty.
  • Para x\to -1^{-}: x+1<0 pequeno, x-1<0, produto positivo pequeno \Rightarrow x^{2}-1 positivo pequeno \Rightarrow -\dfrac{3}{x^{2}-1} grande negativo. Logo
\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=-\infty.
Conclusão: há assíntotas verticais em \,x=1 e \,x=-1, com os comportamentos unilaterais acima.

Passo 6

Derivada primeira e regra do quociente (aula curta).
Para estudar crescimento/decrescimento aplicamos a regra do quociente: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u,v diferenciáveis e v\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2}-4 e v(x)=x^{2}-1. Calculando:
u'(x)=2x,\qquad v'(x)=2x.
Aplicando a regra:
f'(x)=\frac{(2x)(x^{2}-1)-(2x)(x^{2}-4)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Fatorando 2x no numerador:
f'(x)=\frac{2x\bigl((x^{2}-1)-(x^{2}-4)\bigr)}{(x^{2}-1)^{2}} =\frac{2x( -1 +4)}{(x^{2}-1)^{2}}=\frac{2x\cdot 3}{(x^{2}-1)^{2}}=\frac{6x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Observação útil: (x^{2}-1)^{2}>0 para todo x\neq\pm1, então o sinal de f'(x) é o sinal de 6x, isto é, o sinal de x.

Passo 7

Intervalos de crescimento e decrescimento (usando o sinal de f').
Como f'(x)=\dfrac{6x}{(x^{2}-1)^{2}}, e o denominador é sempre positivo no domínio, temos:
  • Para x<0: f'(x)<0 \Rightarrow f é decrescente.
  • Para x=0: f'(0)=0 (ponto crítico).
  • Para x>0: f'(x)>0 \Rightarrow f é crescente.
Lembrando que os pontos x=\pm1 não pertencem ao domínio, as regiões ficam separadas por essas assíntotas. Portanto, em termos de intervalos no domínio:
  • f é decrescente em (-\infty,-1) e em (-1,0).
  • f é crescente em (0,1) e em (1,\infty).

Passo 8

Classificação dos extremos (análise em x=0).
O único ponto crítico no domínio é x=0 (onde f'(0)=0). Observando mudança de sinal de f': para x<0 temos f'<0 e para x>0 temos f'>0. Ou seja, a derivada muda de negativa para positiva em x=0, portanto x=0 é um mínimo relativo. O valor é f(0)=4, então há um mínimo relativo em \,(0,4).
Não há pontos onde f' zere fora de x=0; não existem máximos relativos finitos no domínio.

Passo 9

Derivada segunda e concavidade (aula curta).
Partindo de f'(x)=6x(x^{2}-1)^{-2}, aplicamos a regra do produto/chain rule para obter f''.
Cálculo (passo a passo):
f'(x)=6x(x^{2}-1)^{-2}.
Derivando,
f''(x)=6\cdot (x^{2}-1)^{-2} + 6x\cdot\bigl(-2\bigr)(x^{2}-1)^{-3}\cdot(2x).
O segundo termo vem da derivada de (x^{2}-1)^{-2} pela regra da cadeia (derivada interna 2x). Simplificando:
f''(x)=\frac{6}{(x^{2}-1)^{2}}-\frac{24x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}}.
Colocando sobre o mesmo denominador (x^{2}-1)^{3}:
f''(x)=\frac{6(x^{2}-1)-24x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}} =\frac{6x^{2}-6-24x^{2}}{(x^{2}-1)^{3}} =\frac{-18x^{2}-6}{(x^{2}-1)^{3}} =\frac{-6(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}.
Observação: 3x^{2}+1>0 para todo x, então o numerador é sempre negativo. Portanto o sinal de f'' é oposto ao sinal de (x^{2}-1)^{3}.
  • Se |x|>1 então x^{2}-1>0\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}>0, logo f''(x)<0. Assim f é côncava para baixo em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • Se |x|<1 então x^{2}-1<0\Rightarrow (x^{2}-1)^{3}<0, logo f''(x)>0. Assim f é côncava para cima em (-1,1).
Pontos de inflexão: seriam pontos do domínio onde f''(x)=0 ou muda de sinal. Aqui f''(x)=0 nunca acontece (numerador nunca nulo) e a mudança de concavidade ocorre apenas atravessando x=\pm1, que não pertencem ao domínio. Portanto não há pontos de inflexão no domínio.

Passo 10

Resumo das características úteis para o esboço do gráfico (tudo já calculado, organizado):
  • Domínio: x\neq\pm1.
  • Zeros: x=\pm2 ( (-2,0) e (2,0)).
  • Intercepto em y: (0,4).
  • Assíntotas:
    • Verticais: x=-1 e x=1, com comportamentos unilaterais descritos no Passo 5.
    • Horizontal: y=1.
  • Crescimento/decrescimento:
    • Decrescente em (-\infty,-1) e (-1,0).
    • Crescente em (0,1) e (1,\infty).
  • Extremos: mínimo relativo em (0,4). Sem máximos relativos finitos.
  • Concavidade:
    • Côncava para baixo em (-\infty,-1) e (1,\infty).
    • Côncava para cima em (-1,1).
    • Sem pontos de inflexão no domínio.
  • Comportamento no infinito: \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=1 (aproxima-se da assíntota horizontal y=1).
Instrução rápida para esboçar: desenhe as linhas verticais x=\pm1 (assíntotas verticais) e a linha horizontal y=1. Coloque os pontos (-2,0),(0,4),(2,0). Use monotonia e concavidade em cada intervalo para ligar os pedaços: à esquerda de -1 curve decrescente e côncava para baixo aproximando-se de y=1 quando x\to-\infty e indo a -\infty quando x\to-1^{-}; entre -1 e 0 decresce e é côncava para cima saindo de +\infty em x\to-1^{+} até (0,4); entre 0 e 1 cresce e é côncava para cima subindo de (0,4) e indo a +\infty quando x\to1^{-}; para x>1 cresce e é côncava para baixo saindo de -\infty em x\to1^{+} e aproximando-se de y=1 quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\\ x\neq 1\}.
Interceptos: zeros em (-2,0) e (2,0); intercepto em y em (0,4).
Assíntotas: verticais em x=-1 e x=1; horizontal em y=1.
Intervalos de crescimento/decrescimento: decrescente em (-\infty,-1) e em (-1,0); crescente em (0,1) e em (1,\infty).
Máximos/mínimos relativos: mínimo relativo em (0,4); não há máximos relativos finitos.
Concavidade: côncava para cima em (-1,1); côncava para baixo em (-\infty,-1) e em (1,\infty).

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