Para cada função abaixo, identifique o domínio, as interceptações, as assíntotas (se houver), os intervalos de crescimento/decrescimento, máximos/mínimos relativos e a concavidade para fazer um esboço detalhado do gráfico:
f(x)=\sqrt[3]{x}(x+4).

Passo 1

O enunciado pede, para a função f(x)=\sqrt[3]{x}\,(x+4), que sejam identificados:
  • O domínio de f.
  • As interceptações com os eixos (zeros/x-intercepts e interceptação com o eixo y).
  • As assíntotas, se existirem.
  • Os intervalos de crescimento e de decrescimento.
  • Máximos e mínimos relativos (e, quando for claro, máximos/minimos absolutos).
  • A concavidade (intervalos onde a função é côncava para cima/para baixo) e pontos de inflexão.
    Essas informações servem para fazer um esboço detalhado do gráfico.
As informações dadas pelo enunciado são apenas a expressão da função:
f(x)=\sqrt[3]{x}\,(x+4)=x^{1/3}(x+4).

Passo 2

Domínio — o que a função nos permite usar como x.
Explicação didática: a raiz cúbica \sqrt[3]{x} existe para todo x\in\mathbb{R} (ao contrário da raiz quadrada, que exige radicando não-negativo). Portanto não há restrição na variável x.
Conclusão:
\text{Domínio}=\mathbb{R}\quad(\text{todos os reais}).í

Passo 3

Interceptações — vamos achar os zeros (interseções com o eixo x) e a interceptação com o eixo y.
Resolver f(x)=0:
x^{1/3}(x+4)=0.
Produto é zero quando um dos fatores é zero:
  • x^{1/3}=0 x=0.
  • x+4=0 x=-4.
Portanto os zeros (x-intercepts) são x=-4 e x=0. Coordenadas dos pontos: (-4,0) e (0,0).
Interceptação com o eixo y (valor em x=0):
f(0)=0^{1/3}(0+4)=0.
Então a interceptação com o eixo y é (0,0) (já está listada como zero).

Passo 4

Assíntotas — verificar se há assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
  • Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e tende a \pm\infty. Aqui o domínio é \mathbb{R}, a função é definida e contínua em todo \mathbb{R}, logo não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais/vertais/oblíquas associadas ao comportamento em |x|\to\infty: para x\to\pm\infty, usando a forma expandida que veremos adiante, f(x) cresce em módulo como uma potência positiva de x (não tende a um número finito), portanto não há assíntota horizontal. Também não há razão para uma assíntota oblíqua (que surge quando f(x) é aproximadamente uma reta quando |x|\to\infty); aqui f(x) cresce como x^{4/3}, mais rápido que uma reta.
Conclusão:
\text{Não existem assíntotas (nenhuma vertical, horizontal ou oblíqua).}ãíí

Passo 5

Reescrever a função de forma conveniente e revisar regras de potências (aula rápida necessária).
Reescrita:
f(x)=x^{1/3}(x+4)=x^{1/3}\cdot x + x^{1/3}\cdot 4 = x^{4/3}+4x^{1/3}.
Explicação das regras usadas:
  • x^{1/3}\cdot x = x^{1/3} \cdot x^{1} = x^{1+1/3}=x^{4/3}.
  • Para derivar potências racionais, a regra é a mesma do caso inteiro: para g(x)=x^{m} com m real,
g'(x)=m x^{m-1}.
Aqui m pode ser fracionário (por ex. 1/3, 4/3), e a fórmula vale para x\neq 0 quando a potência negativa aparece na derivada; para potências com expoentes racionais com denominador ímpar (como 1/3) a função original e as derivadas podem estar definidas para x negativos também, usando a raiz real.

Passo 6

Derivada primeira — passo a passo para obter monotonicidade.
Começamos de f(x)=x^{4/3}+4x^{1/3}.
Usando a regra d(x^{m})/dx = m x^{m-1}:
\frac{d}{dx}x^{4/3}=\frac{4}{3}x^{1/3}, \qquad \frac{d}{dx}4x^{1/3}=4\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=\frac{4}{3}x^{-2/3}.
Somando,
f'(x)=\frac{4}{3}x^{1/3}+\frac{4}{3}x^{-2/3}.
Fatorando \frac{4}{3} e x^{-2/3} para simplificar o estudo de sinal:
f'(x)=\frac{4}{3}x^{-2/3}\bigl(x+1\bigr).
Observação sobre x^{-2/3}: isso equivale a \dfrac{1}{x^{2/3}}. Para x\neq0, x^{2/3}>0 e portanto x^{-2/3}>0. Em x=0 essa expressão explode (tende a \infty), então f'(0) não existe.

Passo 7

Pontos críticos — onde f'(x)=0 ou f' não existe.
  • Zeros de f': da forma fatorada, \frac{4}{3}x^{-2/3}(x+1)=0 implica x+1=0\Rightarrow x=-1.
  • Pontos onde f' não existe: x=0 (porque x^{-2/3} torna a derivada infinita).
Portanto pontos críticos em x=-1 e x=0.

Passo 8

Intervalos de crescimento/decrescimento — analisar o sinal de f'.
Como \dfrac{4}{3}>0 e x^{-2/3}>0 para todo x\neq0, o sinal de f'(x) para x\neq0 é o mesmo do fator (x+1). Assim:
  • Para x<-1: x+1<0 f'(x)<0 ⇒ função decresce.
  • Para -1<x<0: x+1>0 f'(x)>0 ⇒ função cresce.
  • Em x=0: f' não existe, mas a análise lateral mostra que para x ligeiramente negativo (p. ex. -0{,}1) temos f'>0 e para x ligeiramente positivo (p. ex. 0{,}1) também temos f'>0. Logo a função aumenta nos intervalos ambos à esquerda e à direita de 0.
  • Para x>0: x+1>0 f'(x)>0 ⇒ função cresce.
Resumo:
\text{Decresce em }(-\infty,-1),\qquad \text{Cresce em }(-1,0)\cup(0,\infty).

Passo 9

Classificação de extremos e comportamento em x=0.
  • Em x=-1: f' troca de negativo para positivo (decresce antes, cresce depois), portanto x=-1 é um mínimo relativo. Calcular valor:
f(-1)=(-1)^{1/3}(-1+4)=(-1)\cdot 3=-3.
Portanto mínimo relativo em (-1,-3). Como f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty (ver comentário depois), esse mínimo é também mínimo global — é o menor valor que a função assume.
  • Em x=0: f' não existe (tende a +\infty), mas o sinal de f' não muda (é positivo à esquerda e à direita). Isso significa que x=0 não é extremum; em vez disso, tem-se uma tangente vertical ou uma “declividade vertical” (mais precisamente, a derivada tende ao infinito positivo), o que produz no gráfico uma subida muito íngreme passando por (0,0). Portanto não é máximo nem mínimo.
Comentário sobre comportamento extremo: como f(x)=x^{4/3}+4x^{1/3} tem o termo x^{4/3} dominante para |x| grande e x^{4/3}\to+\infty quando |x|\to\infty, a função tende a +\infty em ambas as direções, garantindo que o mínimo em (-1,-3) é global.

Passo 10

Derivada segunda — para estudar concavidade.
Partimos de f'(x)=\dfrac{4}{3}x^{-2/3}(x+1). Aplicando a regra do produto e a regra da potência (explicadas antes):
Calcule g(x)=x^{-2/3}(x+1). Então
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2/3}\bigr)\cdot(x+1)+x^{-2/3}\cdot 1.
E
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2/3}\bigr)= -\frac{2}{3}x^{-5/3}.
Logo
g'(x)=-\frac{2}{3}x^{-5/3}(x+1)+x^{-2/3}.
Multiplicando por \dfrac{4}{3} para obter f'':
f''(x)=\frac{4}{3}g'(x)=\frac{4}{3}\Bigl(-\frac{2}{3}x^{-5/3}(x+1)+x^{-2/3}\Bigr).
Fatorando x^{-5/3} para simplificar:
f''(x)=\frac{4}{3}x^{-5/3}\Bigl(-\frac{2}{3}(x+1)+x\Bigr).
No colchete:
-\frac{2}{3}(x+1)+x = x -\frac{2}{3}x -\frac{2}{3} = \frac{1}{3}x -\frac{2}{3} = \frac{1}{3}(x-2).
Substituindo,
f''(x)=\frac{4}{3}x^{-5/3}\cdot\frac{1}{3}(x-2)=\frac{4}{9}x^{-5/3}(x-2).
Portanto a expressão final útil é
\boxed{\,f''(x)=\frac{4}{9}x^{-5/3}(x-2)\,}
(com f'' inexistente em x=0 por causa de x^{-5/3}).

Passo 11

Concavidade e pontos de inflexão — analisar o sinal de f''.
Observação sobre o fator x^{-5/3}: para x\neq0 ele tem o mesmo sinal que x (porque x^{-5/3}=1/x^{5/3} e x^{5/3} tem o mesmo sinal que x já que 5/3 tem numerador ímpar). O coeficiente \dfrac{4}{9}>0 não altera o sinal. Assim o sinal de f''(x) é o mesmo do produto x(x-2).
Estudar o sinal de x(x-2):
  • Para x<0: x<0 e x-2<0 → produto positivo ⇒ f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para 0<x<2: x>0 e x-2<0 → produto negativo ⇒ f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>2: x>0 e x-2>0 → produto positivo ⇒ f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
Pontos onde concavidade pode mudar:
  • x=2: f''(2)=0 e o sinal de f'' troca (de negativo para positivo), portanto x=2 é um ponto de inflexão. Valor da função:
f(2)=2^{1/3}(2+4)=6\cdot 2^{1/3}=6\sqrt[3]{2}.
  • x=0: embora f'' não exista em x=0, há troca de concavidade (de cima para baixo ao atravessar 0), portanto x=0 também é ponto de inflexão no sentido geométrico (a curvatura muda). Valor em 0 já sabemos: f(0)=0.
Resumo de concavidade:
\text{Côncava para cima em }(-\infty,0)\cup(2,\infty),\qquad \text{Côncava para baixo em }(0,2).ôô
Pontos de inflexão em x=0 (com f(0)=0) e x=2 (com f(2)=6\sqrt[3]{2}).

Passo 12

Resumo geométrico e observações finais para o esboço (o que desenhar):
  • Domínio: toda a reta.
  • Zeros em (-4,0) e (0,0).
  • Mínimo global em (-1,-3).
  • Não há máximos.
  • A função decresce até -1, sobe passando por (-1,-3), cruza o eixo x em (0,0) com tangente vertical (derivada infinita) e continua subindo para +\infty.
  • Concavidade: côncava para cima antes de 0, muda para côncava para baixo em (0,2), volta a côncava para cima depois de 2; pontos de inflexão em 0 e 2.
  • Comportamento para grandes |x|: f(x)\sim x^{4/3} (cresce ilimitadamente para +\infty tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty), portanto o gráfico abre para cima nas duas pontas.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Interceptações: zeros em (-4,0) e (0,0); interceptação com o eixo y em (0,0)
Assíntotas: nenhuma
Intervalos de decrescimento/crescimento:
  • Decresce em (-\infty,-1)
  • Cresce em (-1,0)\cup(0,\infty)
Extremos:
  • Mínimo relativo (e global) em (-1,-3)
  • Nenhum máximo
Concavidade e pontos de inflexão:
  • Côncava para cima em (-\infty,0)\cup(2,\infty)
  • Côncava para baixo em (0,2)
  • Pontos de inflexão em x=0 com f(0)=0 e em x=2 com f(2)=6\sqrt[3]{2}

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