Para cada função abaixo, identifique o domínio, as interceptações, as assíntotas (se houver), os intervalos de crescimento/decrescimento, máximos/mínimos relativos e a concavidade para fazer um esboço detalhado do gráfico:
.
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, que sejam identificados:
- O domínio de
. - As interceptações com os eixos (zeros/x-intercepts e interceptação com o eixo
). - As assíntotas, se existirem.
- Os intervalos de crescimento e de decrescimento.
- Máximos e mínimos relativos (e, quando for claro, máximos/minimos absolutos).
- A concavidade (intervalos onde a função é côncava para cima/para baixo) e pontos de inflexão.
Essas informações servem para fazer um esboço detalhado do gráfico.
As informações dadas pelo enunciado são apenas a expressão da função:
Passo 2
Domínio — o que a função nos permite usar como
.
Explicação didática: a raiz cúbica
existe para todo
(ao contrário da raiz quadrada, que exige radicando não-negativo). Portanto não há restrição na variável
.
Conclusão:
Passo 3
Interceptações — vamos achar os zeros (interseções com o eixo
) e a interceptação com o eixo
.
Resolver
:
Produto é zero quando um dos fatores é zero:
-
dá . -
dá .
Portanto os zeros (x-intercepts) são
e
. Coordenadas dos pontos:
e
.
Interceptação com o eixo
(valor em
):
Então a interceptação com o eixo
é
(já está listada como zero).
Passo 4
Assíntotas — verificar se há assíntotas verticais, horizontais ou oblíquas.
- Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e tende a
. Aqui o domínio é , a função é definida e contínua em todo , logo não há assíntotas verticais. - Assíntotas horizontais/vertais/oblíquas associadas ao comportamento em
: para , usando a forma expandida que veremos adiante, cresce em módulo como uma potência positiva de (não tende a um número finito), portanto não há assíntota horizontal. Também não há razão para uma assíntota oblíqua (que surge quando é aproximadamente uma reta quando ); aqui cresce como , mais rápido que uma reta.
Conclusão:
Passo 5
Reescrever a função de forma conveniente e revisar regras de potências (aula rápida necessária).
Reescrita:
Explicação das regras usadas:
-
. - Para derivar potências racionais, a regra é a mesma do caso inteiro: para
com real,
Aqui
pode ser fracionário (por ex.
,
), e a fórmula vale para
quando a potência negativa aparece na derivada; para potências com expoentes racionais com denominador ímpar (como
) a função original e as derivadas podem estar definidas para
negativos também, usando a raiz real.
Passo 6
Derivada primeira — passo a passo para obter monotonicidade.
Começamos de
.
Usando a regra
:
Somando,
Fatorando
e
para simplificar o estudo de sinal:
Observação sobre
: isso equivale a
. Para
,
e portanto
. Em
essa expressão explode (tende a
), então
não existe.
Passo 7
Pontos críticos — onde
ou
não existe.
- Zeros de
: da forma fatorada, implica . - Pontos onde
não existe: (porque torna a derivada infinita).
Portanto pontos críticos em
e
.
Passo 8
Intervalos de crescimento/decrescimento — analisar o sinal de
.
Como
e
para todo
, o sinal de
para
é o mesmo do fator
. Assim:
- Para
: ⇒ ⇒ função decresce. - Para
: ⇒ ⇒ função cresce. - Em
: não existe, mas a análise lateral mostra que para ligeiramente negativo (p. ex. ) temos e para ligeiramente positivo (p. ex. ) também temos . Logo a função aumenta nos intervalos ambos à esquerda e à direita de . - Para
: ⇒ ⇒ função cresce.
Resumo:
Passo 9
Classificação de extremos e comportamento em
.
- Em
: troca de negativo para positivo (decresce antes, cresce depois), portanto é um mínimo relativo. Calcular valor:
Portanto mínimo relativo em
. Como
quando
(ver comentário depois), esse mínimo é também mínimo global — é o menor valor que a função assume.
- Em
: não existe (tende a ), mas o sinal de não muda (é positivo à esquerda e à direita). Isso significa que não é extremum; em vez disso, tem-se uma tangente vertical ou uma “declividade vertical” (mais precisamente, a derivada tende ao infinito positivo), o que produz no gráfico uma subida muito íngreme passando por . Portanto não é máximo nem mínimo.
Comentário sobre comportamento extremo: como
tem o termo
dominante para
grande e
quando
, a função tende a
em ambas as direções, garantindo que o mínimo em
é global.
Passo 10
Derivada segunda — para estudar concavidade.
Partimos de
. Aplicando a regra do produto e a regra da potência (explicadas antes):
Calcule
. Então
E
Logo
Multiplicando por
para obter
:
Fatorando
para simplificar:
No colchete:
Substituindo,
Portanto a expressão final útil é
(com
inexistente em
por causa de
).
Passo 11
Concavidade e pontos de inflexão — analisar o sinal de
.
Observação sobre o fator
: para
ele tem o mesmo sinal que
(porque
e
tem o mesmo sinal que
já que
tem numerador ímpar). O coeficiente
não altera o sinal. Assim o sinal de
é o mesmo do produto
.
Estudar o sinal de
:
- Para
: e → produto positivo ⇒ ⇒ concavidade para cima. - Para
: e → produto negativo ⇒ ⇒ concavidade para baixo. - Para
: e → produto positivo ⇒ ⇒ concavidade para cima.
Pontos onde concavidade pode mudar:
-
: e o sinal de troca (de negativo para positivo), portanto é um ponto de inflexão. Valor da função:
-
: embora não exista em , há troca de concavidade (de cima para baixo ao atravessar 0), portanto também é ponto de inflexão no sentido geométrico (a curvatura muda). Valor em já sabemos: .
Resumo de concavidade:
Pontos de inflexão em
(com
) e
(com
).
Passo 12
Resumo geométrico e observações finais para o esboço (o que desenhar):
- Domínio: toda a reta.
- Zeros em
e . - Mínimo global em
. - Não há máximos.
- A função decresce até
, sobe passando por , cruza o eixo em com tangente vertical (derivada infinita) e continua subindo para . - Concavidade: côncava para cima antes de
, muda para côncava para baixo em , volta a côncava para cima depois de ; pontos de inflexão em e . - Comportamento para grandes
: (cresce ilimitadamente para tanto para quanto para ), portanto o gráfico abre para cima nas duas pontas.
Resposta
Domínio:
Interceptações: zeros em
e
; interceptação com o eixo
em
Assíntotas: nenhuma
Intervalos de decrescimento/crescimento:
- Decresce em
- Cresce em
Extremos:
- Mínimo relativo (e global) em
- Nenhum máximo
Concavidade e pontos de inflexão:
- Côncava para cima em
- Côncava para baixo em
- Pontos de inflexão em
com e em com