Em cada um dos itens a seguir, faça o cálculo indicado:
(a) Se A=(4,-1) e B=(3,6), calcule A \cdot B;
(b) se A=(5,0,-2) e B=3 i-j+10 k, calcule A \cdot B;
(c) se \|A\|=12,\|B\|=15 e o ângulo entre A e B é \pi / 6, calcule A \cdot B;
(d) se A=(3,4) e B=(5,12), calcule o ângulo entre A e B;
(e) se A=(1,2,0), B=(0,3,1) e C=(1,1,2), calcule
i. A \times B;
ii. \|A \times B\|;
iii. -2 A \times 3 B;
iv. (A \times C)+(C \times A);
v. (B \times C) \times(C \times B);
vi. (A \times B) \cdot B;
vii. (A \times B) \cdot C;
(f) encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a ( 1,-1,1 ) quanto a (0,4,4).
Passo 1
Vou listar com clareza o que cada item pede e os dados fornecidos (cada número e vetor abaixo está exatamente como no enunciado).
(a) Dados: A=(4,-1) e B=(3,6). Pede-se calcular A\cdot B.
(b) Dados: A=(5,0,-2) e B=3\,i-j+10\,k. Pede-se calcular A\cdot B. (Observação: 3\,i-j+10\,k corresponde ao vetor (3,-1,10).)
(c) Dados: \|A\|=12, \|B\|=15 e o ângulo entre A e B é \pi/6. Pede-se A\cdot B.
(d) Dados: A=(3,4) e B=(5,12). Pede-se calcular o ângulo entre A e B.
(e) Dados: A=(1,2,0), B=(0,3,1) e C=(1,1,2). Pede-se calcular:
i. A\times B;
ii. \|A\times B\|;
iii. -2A\times 3B;
iv. (A\times C)+(C\times A);
v. (B\times C)\times(C\times B);
vi. (A\times B)\cdot B;
vii. (A\times B)\cdot C.
(f) Dados: os vetores (1,-1,1) e (0,4,4). Pede-se encontrar dois vetores unitários que sejam ortogonais a ambos.
Agora eu vou resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas e conceitos usados.
Passo 2
Definição e fórmula do produto escalar (dot product) — aula rápida e intuitiva:
Para dois vetores em coordenadas (componentes) em \mathbb{R}^n, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Fórmula algébrica: se X=(x_1,x_2,\dots,x_n) e Y=(y_1,y_2,\dots,y_n), então
X\cdot Y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n.
Interpretação geométrica: o produto escalar também é dado por
X\cdot Y = \|X\|\,\|Y\|\,\cos\theta,
onde \|X\| é a norma (comprimento) de X, \|Y\| é a norma de Y e \theta é o ângulo entre os vetores. Isso nos permite encontrar ângulos ou produtos quando conhecemos normas e ângulo.
Uso dessas ideias para (a):
Calculemos
A\cdot B = (4,-1)\cdot(3,6) = 4\cdot 3 + (-1)\cdot 6.
Agora faço a conta passo a passo:
4\cdot 3 = 12,\qquad (-1)\cdot 6 = -6,
logo
A\cdot B = 12-6 = 6.
Passo 3
Item (b). Primeiro transformar B=3\,i-j+10\,k em coordenadas: B=(3,-1,10).
Aplicando a definição do produto escalar em \mathbb{R}^3:
Observação: \dfrac{63}{65} é um valor próximo de 0{,}9692, então \theta é um ângulo pequeno (cerca de 14^\circ se for preciso aproximar), mas como a pergunta pede calcular o ângulo, a forma exata \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{63}{65}\right) é suficiente e exata.
Passo 6
Agora o item (e). Primeiro dou a definição prática do produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3 e propriedades úteis:
Observação: esse número 7 é o produto misto (A\times B)\cdot C, que também é igual ao determinante formado pelas coordenadas de A,B,C.
Passo 14
Item (f). Queremos vetores unitários ortogonais simultaneamente a U=(1,-1,1) e V=(0,4,4). Método: o produto vetorial U\times V é um vetor ortogonal a ambos; basta normalizar (dividir pela sua norma) para obter um vetor unitário. Os dois vetores unitários desejados são \pm esse vetor normalizado.