Em cada um dos itens a seguir, faça o cálculo indicado:
(a) Se A=(4,-1) e B=(3,6), calcule A \cdot B;
(b) se A=(5,0,-2) e B=3 i-j+10 k, calcule A \cdot B;
(c) se \|A\|=12,\|B\|=15 e o ângulo entre A e B é \pi / 6, calcule A \cdot B;
(d) se A=(3,4) e B=(5,12), calcule o ângulo entre A e B;
(e) se A=(1,2,0), B=(0,3,1) e C=(1,1,2), calcule
i. A \times B;
ii. \|A \times B\|;
iii. -2 A \times 3 B;
iv. (A \times C)+(C \times A);
v. (B \times C) \times(C \times B);
vi. (A \times B) \cdot B;
vii. (A \times B) \cdot C;
(f) encontre dois vetores unitários que sejam ortogonais tanto a ( 1,-1,1 ) quanto a (0,4,4).

Passo 1

Vou listar com clareza o que cada item pede e os dados fornecidos (cada número e vetor abaixo está exatamente como no enunciado).
(a) Dados: A=(4,-1) e B=(3,6). Pede-se calcular A\cdot B.
(b) Dados: A=(5,0,-2) e B=3\,i-j+10\,k. Pede-se calcular A\cdot B. (Observação: 3\,i-j+10\,k corresponde ao vetor (3,-1,10).)
(c) Dados: \|A\|=12, \|B\|=15 e o ângulo entre A e B é \pi/6. Pede-se A\cdot B.
(d) Dados: A=(3,4) e B=(5,12). Pede-se calcular o ângulo entre A e B.
(e) Dados: A=(1,2,0), B=(0,3,1) e C=(1,1,2). Pede-se calcular:
i. A\times B;
ii. \|A\times B\|;
iii. -2A\times 3B;
iv. (A\times C)+(C\times A);
v. (B\times C)\times(C\times B);
vi. (A\times B)\cdot B;
vii. (A\times B)\cdot C.
(f) Dados: os vetores (1,-1,1) e (0,4,4). Pede-se encontrar dois vetores unitários que sejam ortogonais a ambos.
Agora eu vou resolver passo a passo cada item, explicando as fórmulas e conceitos usados.

Passo 2

Definição e fórmula do produto escalar (dot product) — aula rápida e intuitiva:
  • Para dois vetores em coordenadas (componentes) em \mathbb{R}^n, o produto escalar é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
  • Fórmula algébrica: se X=(x_1,x_2,\dots,x_n) e Y=(y_1,y_2,\dots,y_n), então
X\cdot Y = x_1y_1 + x_2y_2 + \cdots + x_n y_n.
  • Interpretação geométrica: o produto escalar também é dado por
X\cdot Y = \|X\|\,\|Y\|\,\cos\theta,
onde \|X\| é a norma (comprimento) de X, \|Y\| é a norma de Y e \theta é o ângulo entre os vetores. Isso nos permite encontrar ângulos ou produtos quando conhecemos normas e ângulo.
Uso dessas ideias para (a):
Calculemos
A\cdot B = (4,-1)\cdot(3,6) = 4\cdot 3 + (-1)\cdot 6.
Agora faço a conta passo a passo:
4\cdot 3 = 12,\qquad (-1)\cdot 6 = -6,
logo
A\cdot B = 12-6 = 6.

Passo 3

Item (b). Primeiro transformar B=3\,i-j+10\,k em coordenadas: B=(3,-1,10).
Aplicando a definição do produto escalar em \mathbb{R}^3:
A\cdot B = (5,0,-2)\cdot(3,-1,10) = 5\cdot 3 + 0\cdot(-1) + (-2)\cdot 10.
Calcule cada termo:
5\cdot 3 = 15,\qquad 0\cdot(-1)=0,\qquad (-2)\cdot 10 = -20.
Somando,
A\cdot B = 15 + 0 - 20 = -5.

Passo 4

Item (c). Aqui usamos a fórmula geométrica do produto escalar:
A\cdot B = \|A\|\,\|B\|\,\cos\theta.
Os dados são \|A\|=12, \|B\|=15 e \theta=\pi/6. Sabemos que \cos(\pi/6)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto
A\cdot B = 12\cdot 15\cdot \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 180\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90\sqrt{3}.

Passo 5

Item (d). Para achar o ângulo entre A e B usamos a relação
\cos\theta = \frac{A\cdot B}{\|A\|\,\|B\|}.
Primeiro calculemos o produto escalar e as normas.
Produto escalar:
A\cdot B = (3,4)\cdot(5,12) = 3\cdot 5 + 4\cdot 12 = 15 + 48 = 63.
Normas (comprimentos):
\|A\| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25}=5,
\|B\| = \sqrt{5^2+12^2} = \sqrt{25+144} = \sqrt{169}=13.
Agora a razão:
\cos\theta = \frac{63}{5\cdot 13} = \frac{63}{65}.
Portanto o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{63}{65}\right).
Observação: \dfrac{63}{65} é um valor próximo de 0{,}9692, então \theta é um ângulo pequeno (cerca de 14^\circ se for preciso aproximar), mas como a pergunta pede calcular o ângulo, a forma exata \operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{63}{65}\right) é suficiente e exata.

Passo 6

Agora o item (e). Primeiro dou a definição prática do produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3 e propriedades úteis:
  • Para X=(x_1,x_2,x_3) e Y=(y_1,y_2,y_3),
X\times Y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] x_1 & x_2 & x_3\\[4pt] y_1 & y_2 & y_3 \end{vmatrix},
o que significa calcular componentes:
X\times Y = \bigl(x_2y_3 - x_3y_2,\; -(x_1y_3 - x_3y_1),\; x_1y_2 - x_2y_1\bigr).
  • Propriedades úteis:
    • X\times Y = -\,Y\times X (antissimetria).
    • X\cdot (X\times Y) = 0 e Y\cdot (X\times Y)=0 (o produto vetorial é ortogonal aos dois vetores).
    • \|X\times Y\| = \|X\|\,\|Y\|\,|\sin\theta|, onde \theta é o ângulo entre X e Y.
    • Produto com escalares: (cX)\times(dY)=cd\,(X\times Y).
Usando essas fórmulas, calculo cada item.]

Passo 7

(e.i) Calcular A\times B com A=(1,2,0) e B=(0,3,1).
Aplicando a fórmula para as componentes:
A\times B = (\,2\cdot 1 - 0\cdot 3,\; -(1\cdot 1 - 0\cdot 0),\; 1\cdot 3 - 2\cdot 0\,).
Calcule cada termo:
2\cdot 1 - 0\cdot 3 = 2,
-(1\cdot 1 - 0\cdot 0) = -(1 - 0) = -1,
1\cdot 3 - 2\cdot 0 = 3.
Logo
A\times B = (2,-1,3).

Passo 8

(e.ii) Calcular \|A\times B\|. Já temos A\times B=(2,-1,3). Norma (comprimento) é
\|A\times B\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}.

Passo 9

(e.iii) Calcular -2A\times 3B. Usando a propriedade com escalares:
(-2)A \times (3)B = (-2)\cdot 3\,(A\times B) = -6\,(A\times B).
Como A\times B=(2,-1,3),
-6\,(2,-1,3) = (-12,6,-18).

Passo 10

(e.iv) Calcular (A\times C)+(C\times A). Primeiro lembrar a antissimetria do produto vetorial:
C\times A = - (A\times C).
Portanto
(A\times C)+(C\times A) = (A\times C) - (A\times C) = (0,0,0),
o vetor nulo. (Se preferir, pode-se calcular A\times C explicitamente e ver que a soma com seu negativo dá zero.)
Para confirmação rápida, calculo A\times C (opcional, só para verificação):
A\times C = (\,2\cdot 2 - 0\cdot 1,\; -(1\cdot 2 - 0\cdot 1),\; 1\cdot 1 - 2\cdot 1\,) = (4,-2,-1).
Então C\times A = -(4,-2,-1)=(-4,2,1) e soma é (0,0,0).

Passo 11

(e.v) Calcular (B\times C)\times(C\times B). Note que C\times B = - (B\times C). Logo
(B\times C)\times(C\times B) = (B\times C)\times\bigl(- (B\times C)\bigr) = -\bigl((B\times C)\times(B\times C)\bigr).
Mas qualquer vetor cruz consigo mesmo é o vetor zero:
V\times V = (0,0,0).
Portanto (B\times C)\times(C\times B) = (0,0,0).
Para conferir, calculei B\times C rapidamente (opcional):
B\times C = (\,3\cdot 2 - 1\cdot 1,\; -(0\cdot 2 - 1\cdot 1),\; 0\cdot 1 - 3\cdot 1\,) = (5,1,-3),
e C\times B = (-5,-1,3). O cruzamento de um vetor com seu negativo é zero.

Passo 12

(e.vi) Calcular (A\times B)\cdot B. Já temos A\times B=(2,-1,3) e B=(0,3,1). Produto escalar:
(A\times B)\cdot B = 2\cdot 0 + (-1)\cdot 3 + 3\cdot 1 = 0 - 3 + 3 = 0.
Isso confirma a propriedade geral: B é ortogonal a A\times B, então o produto escalar dá zero.

Passo 13

(e.vii) Calcular (A\times B)\cdot C. Usando A\times B=(2,-1,3) e C=(1,1,2),
(A\times B)\cdot C = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 1 + 3\cdot 2 = 2 - 1 + 6 = 7.
Observação: esse número 7 é o produto misto (A\times B)\cdot C, que também é igual ao determinante formado pelas coordenadas de A,B,C.

Passo 14

Item (f). Queremos vetores unitários ortogonais simultaneamente a U=(1,-1,1) e V=(0,4,4). Método: o produto vetorial U\times V é um vetor ortogonal a ambos; basta normalizar (dividir pela sua norma) para obter um vetor unitário. Os dois vetores unitários desejados são \pm esse vetor normalizado.
Calcule U\times V:
U\times V = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \bigl((-1)\cdot 4 - 1\cdot 4,\; -(1\cdot 4 - 1\cdot 0),\; 1\cdot 4 - (-1)\cdot 0\bigr).
Calculando cada componente:
(-1)\cdot 4 - 1\cdot 4 = -4 - 4 = -8,
-(1\cdot 4 - 1\cdot 0) = -(4 - 0) = -4,
1\cdot 4 - (-1)\cdot 0 = 4 - 0 = 4.
Logo
U\times V = (-8,-4,4).
Norma:
\|U\times V\| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{64+16+16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}.
Então o vetor unitário (normalizado) é
\frac{U\times V}{\|U\times V\|} = \frac{1}{4\sqrt{6}}\,(-8,-4,4) = \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Os dois vetores unitários ortogonais tanto a U quanto a V são esse vetor e seu oposto:
\left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right) \quad\text{e}\quad \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right).]

Resposta

(a) 6
(b) -5
(c) 90\sqrt{3}
(d) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{63}{65}\right)
(e.i) A\times B=(2,-1,3)
(e.ii) \|A\times B\|=\sqrt{14}
(e.iii) -2A\times 3B = (-12,6,-18)
(e.iv) (A\times C)+(C\times A)=(0,0,0)
(e.v) (B\times C)\times(C\times B)=(0,0,0)
(e.vi) (A\times B)\cdot B=0
(e.vii) (A\times B)\cdot C=7
(f) \displaystyle \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)
\displaystyle \left(\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{1}{\sqrt{6}}\right)

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