Em cada parte, suponha que a matriz aumentada
A \mid B] de um sistema de equações lineares A X=B foi reduzida à forma escalonada reduzida por meio de operações elementares sobre as linhas. Encontre o conjunto solução do sistema. Indique claramente todas as variáveis livres, quando for o caso. (Atenção: As matrizes já estão escalonadas, você só vai escrever a solução do sistema!)
\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz aumentada já reduzida, com 2 equações e 4 incógnitas. Vou identificar claramente o que a matriz representa. Denotando as variáveis por x_1,x_2,x_3,x_4, a matriz aumentada
\left[\begin{array}{lllll} 1 & 0 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 5 \end{array}\right]
tem 5 colunas: as primeiras 4 são os coeficientes de x_1,x_2,x_3,x_4 e a última coluna é o vetor B (termos independentes). Ou seja, as duas linhas correspondem às duas equações do sistema:
\begin{cases} 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 3\cdot x_4 = 2,\\[4pt] 0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 1\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 5. \end{cases}]

Passo 2

Interpretando cada linha como equação (já em forma escalonada reduzida):
  • A segunda linha dá diretamente \;x_3=5\;.
  • A primeira linha dá \;x_1 + 3x_4 = 2\;.
Agora identificar variáveis básicas (com pivôs) e variáveis livres: os pivôs estão nas colunas 1 e 3 (coluna 2 e coluna 4 não têm pivôs). Portanto:
  • Variáveis básicas: x_1 e x_3.
  • Variáveis livres: x_2 e x_4.
Quando há variáveis livres, é prático introduzir parâmetros para elas. Vou chamar
x_2 = s,\qquad x_4 = t,
onde s,t\in\mathbb{R} são parâmetros reais.

Passo 3

Resolver as equações para as variáveis básicas em função dos parâmetros:
  • Da segunda equação: \;x_3=5\;. (já fixo, não depende de s,t).
  • Da primeira equação: \;x_1 + 3x_4 = 2\;, então substituindo x_4=t,
x_1 = 2 - 3t.
E já definimos x_2=s e x_4=t.

Passo 4

Escrever a solução em forma paramétrica e em forma vetorial (duas maneiras úteis na prova):
Forma paramétrica:
(x_1,x_2,x_3,x_4) = (\,2-3t,\; s,\; 5,\; t\,),\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Forma vetorial (decomposição em vetor particular + combinação linear das direções livres):
\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 5\\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Sei que é muita coisa de uma vez, mas a ideia prática para a prova: leia cada linha da matriz como uma equação; identifique quais colunas têm pivôs (essas variáveis são dependentes) e quais não têm (essas são livres e viram parâmetros); resolva para as variáveis dependentes em função dos parâmetros. Vai dar sempre uma forma parecida com a que está acima — guarda isso que é claro e rápido na hora da prova!

Resposta

\{(x_1,x_2,x_3,x_4)=(2-3t,\;s,\;5,\;t)\mid s,t\in\mathbb{R}\}

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