A \mid B] de um sistema de equações lineares A X=B foi reduzida à forma escalonada reduzida por meio de operações elementares sobre as linhas. Encontre o conjunto solução do sistema. Indique claramente todas as variáveis livres, quando for o caso. (Atenção: As matrizes já estão escalonadas, você só vai escrever a solução do sistema!)
e pede o conjunto solução do sistema linear A X = B.
Informações claras que temos:
A primeira, segunda e terceira colunas correspondem aos coeficientes das incógnitas que chamaremos de x_1, x_2 e x_3, respectivamente.
A quarta coluna é a coluna dos termos independentes (vetor B).
A matriz já está em forma escalonada reduzida (cada linha pivô tem um 1 e zeros nas outras entradas da coluna pivô).
O objetivo é escrever a solução do sistema, indicando variáveis livres (se houver).
Passo 2
Como ler uma matriz aumentada em forma escalonada reduzida: cada linha não-nula dá uma equação do tipo “uma variável igual a um número” porque na forma escalonada reduzida cada linha pivotada tem um único 1 na coluna da variável correspondente e zeros nas outras colunas de variáveis.
Termos importantes (explicados de leve):
Pivô (ou posição de pivô): a entrada 1 que lidera uma linha não-nula nessa forma; a variável correspondente a essa coluna é uma variável básica (ou líder).
Variável livre: variável cuja coluna não tem pivô; ela pode assumir parâmetros livres.
No nosso caso, devemos procurar pivôs coluna a coluna.
Passo 3
Identificar pivôs nesta matriz:
Na primeira linha há um 1 na coluna 1 e zeros nas outras colunas de variável. Logo coluna 1 é coluna pivô (pivô em x_1).
Na segunda linha há um 1 na coluna 2. Logo coluna 2 é coluna pivô (pivô em x_2).
Na terceira linha há um 1 na coluna 3. Logo coluna 3 é coluna pivô (pivô em x_3).
A quarta linha é toda zero, não traz equação nova.
Conclusão imediata desta análise: as três colunas de variáveis têm pivô, portanto não há variáveis livres.
Passo 4
Ler cada linha como uma equação (converter a linha aumentada em igualdade):
Primeira linha: os coeficientes são 1 para x_1 e 0 para x_2,x_3, termo independente 1. Assim
x_1 = 1.
Segunda linha:
x_2 = 4.
Terceira linha:
x_3 = -1.
Quarta linha 0=0 é redundante e não impõe restrição.
Passo 5
Verificar consistência e número de soluções:
Não existe nenhuma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0\\ \mid\\ b] com b\neq0, então o sistema é compatível (consistente).
Como há pivô em cada coluna de incógnita (x_1,x_2,x_3), não há variáveis livres e o sistema tem solução única.
Passo 6
Escrever a solução explicitamente e em forma de vetor coluna (modo prático para prova):
X = \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]
Passo 7
Comentário didático curto (útil na prova): se houvesse uma coluna de variável sem pivô, essa variável seria livre e representaria um parâmetro (por exemplo t). As variáveis com pivô seriam então escritas em função desses parâmetros formando a família de soluções paramétrica. Aqui, porém, todos os x_i são básicos e já têm valores numéricos.