Em cada parte, suponha que a matriz aumentada
A \mid B] de um sistema de equações lineares A X=B foi reduzida à forma escalonada reduzida por meio de operações elementares sobre as linhas. Encontre o conjunto solução do sistema. Indique claramente todas as variáveis livres, quando for o caso. (Atenção: As matrizes já estão escalonadas, você só vai escrever a solução do sistema!)
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado diz que a matriz aumentada [A\mid B] do sistema linear A X = B já foi reduzida à forma escalonada reduzida e pede para encontrar o conjunto solução do sistema e indicar variáveis livres, se houver. A matriz fornecida (já escalonada) é:
\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz aumentada tem quatro colunas; as três primeiras colunas são os coeficientes das variáveis (logo há três incógnitas) e a última coluna é o termo independente (vetor B).
  • O enunciado pede: (i) encontrar o conjunto solução; (ii) indicar as variáveis livres, se houver.

Passo 2

Como ler a matriz aumentada em equações: as colunas correspondem a x_{1}, x_{2}, x_{3} e ao termo independente. Cada linha da matriz traduz-se numa equação linear do sistema. Vou escrever explicitamente cada linha como equação (uso TeX para todas as expressões matemáticas).
Traduzindo as linhas em equações:
  • Primeira linha \bigl[1\\\ 0\\\ 2\mid 0\bigr] dá a equação
x_{1} + 2x_{3} = 0.
  • Segunda linha \bigl[0\\\ 1\\\ 3\mid 0\bigr] dá a equação
x_{2} + 3x_{3} = 0.
  • Terceira linha \bigl[0\\\ 0\\\ 0\mid 1\bigr] dá a equação
0 = 1.

Passo 3

A equação \,0=1\, é uma contradição (impossível). Em sistemas lineares, se a forma escalonada reduzida apresenta uma linha com todos os coeficientes das incógnitas iguais a zero e termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é incompatível — não existe qualquer tupla (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto o sistema não tem solução. Nesse caso não faz sentido falar em variáveis livres, porque a existência da linha contraditória já elimina qualquer solução possível.

Passo 4

Resumo prático (dica para a prova): ao ver a matriz escalonada reduzida, verifique rapidamente se existe uma linha do tipo \bigl[0\\ \dots\\\ 0\mid b\bigr] com b\neq 0. Se existir, responda imediatamente que o sistema é incompatível (sem solução); não é preciso resolver as outras linhas.

Resposta

O sistema é incompatível; não possui solução, ou seja, o conjunto solução é \varnothing.

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