Em cada parte, suponha que a matriz aumentada
A \mid B] de um sistema de equações lineares A X=B foi reduzida à forma escalonada reduzida por meio de operações elementares sobre as linhas. Encontre o conjunto solução do sistema. Indique claramente todas as variáveis livres, quando for o caso. (Atenção: As matrizes já estão escalonadas, você só vai escrever a solução do sistema!)
\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz aumentada já reduzida à forma escalonada reduzida:
\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]
Deve-se encontrar o conjunto solução do sistema linear correspondente A X=B e indicar claramente as variáveis livres, quando houver.]

Passo 2

Interpretando a matriz aumentada: as três primeiras colunas são os coeficientes das incógnitas na ordem escolhida. Vamos tomar as incógnitas como \,x_1,x_2,x_3, e a última coluna é o termo constante. Portanto a primeira linha dá uma equação envolvendo \,x_1,x_2,x_3, e as outras linhas são linhas nulas (equação 0=0).

Passo 3

Escrevendo a equação correspondente à primeira linha:
x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 4.
As outras duas linhas geram as equações
0=0
que são triviais e não impõem restrições adicionais.

Passo 4

Identificação de variáveis básicas (com pivô) e variáveis livres:
  • A coluna 1 tem pivô (valor 1 na posição (1,1)), logo \,x_1, é uma variável básica (dependente).
  • As colunas 2 e 3 não têm pivô, portanto \,x_2 e \,x_3, são variáveis livres.
Explicando: variável livre significa que pode assumir qualquer valor real; a variável básica será expressa em função dessas livres.

Passo 5

Parametrização das variáveis livres: seja
x_2 = s,\qquad x_3 = t,\qquad\text{com }s,t\in\mathbb{R}.
Substituindo na primeira equação e resolvendo para x_1:
x_1 + 2s + 3t = 4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 4 - 2s - 3t.

Passo 6

Escrevendo a solução geral em forma vetorial (forma afim):
(x_1,x_2,x_3) = (4-2s-3t,\;s,\;t)
ou, separando o termo constante e a combinação linear das parametrizações,
(x_1,x_2,x_3) = (4,0,0) + s(-2,1,0) + t(-3,0,1),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Verificação rápida: substituindo (x_1,x_2,x_3)=(4-2s-3t,s,t) na equação original,
(4-2s-3t) + 2s + 3t = 4,
que é verdadeira para todo s,t, logo a parametrização está correta.

Resposta

x_2 e x_3 são variáveis livres.\newline
(x_1,x_2,x_3)=(4-2s-3t,\;s,\;t),\qquad s,t\in\mathbb{R}.

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