Calcular os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes: A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{array}\right];
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix}.
O enunciado pede: calcular os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz é 2\times2.
Os elementos da matriz são a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=-1, a_{22}=5.
Passo 2
O que é e como encontrar autovalores e autovetores (explicação didática):
Definição: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Nesse caso v é um autovetor associado a \lambda.
Método prático (passos):
Para encontrar os autovalores, montamos a equação característica
\det(A - \lambda I)=0,onde I é a matriz identidade 2\times2. Para 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, temos\det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
Resolvendo essa equação obtemos os possíveis \lambda.
Para cada \lambda, achamos os autovetores resolvendo o sistema linear
(A-\lambda I)v=0,que é um sistema homogêneo; como queremos vetores não nulos, tomamos uma variável livre e expressamos a outra em função dela para obter um autovetor (qualquer múltiplo não nulo serve).
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I):
Resolver (A-4I)v=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} -3x+3y=0,\\\\ - x + y =0. \end{cases}
Ambas equações são equivalentes e dão -x+y=0\Rightarrow y=x\].
- Então os vetores da forma \(v=\begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} são autovetores; escolhemos um representante simples, por exemplo x=1:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida (para ter certeza): calcular A v_1:
Resolver (A-2I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. O sistema é
\begin{cases} - x + 3y =0,\\\\ - x + 3y =0. \end{cases}
A equação dá -x + 3y =0\Rightarrow x=3y\].
- Assim os vetores são \(v=\begin{pmatrix}3y\y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}. Tomando y=1 como representante simples:
Encontramos dois autovalores distintos \lambda_1=4 e \lambda_2=2 e autovetores linearmente independentes v_1 e v_2. Isso significa que A é diagonalizável (mas não é necessário provar isso na prova se não for pedido).
Você pode usar qualquer múltiplo escalar não nulo de v_1 e v_2 como autovetores; eu escolhi representantes simples \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} para facilitar.
Bom trabalho por ter chegado até aqui — agora tenta repetir o processo com outra matriz 2×2 para fixar: é sempre característico montar \det(A-\lambda I), resolver o polinômio e depois resolver (A-\lambda I)v=0.