Calcular os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{array}\right];

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Matriz dada:
A=\begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ -1 & 5\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede: calcular os autovalores (valores próprios) e os autovetores (vetores próprios) de A.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz é 2\times2.
  • Os elementos da matriz são a_{11}=1, a_{12}=3, a_{21}=-1, a_{22}=5.

Passo 2

O que é e como encontrar autovalores e autovetores (explicação didática):
  • Definição: um número \lambda é autovalor de A se existe vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Nesse caso v é um autovetor associado a \lambda.
  • Método prático (passos):
    1. Para encontrar os autovalores, montamos a equação característica
    \det(A - \lambda I)=0,onde I é a matriz identidade 2\times2. Para 2\times2, se A=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, temos \det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(d-\lambda)-bc.
    1. Resolvendo essa equação obtemos os possíveis \lambda.
    2. Para cada \lambda, achamos os autovetores resolvendo o sistema linear
    (A-\lambda I)v=0,que é um sistema homogêneo; como queremos vetores não nulos, tomamos uma variável livre e expressamos a outra em função dela para obter um autovetor (qualquer múltiplo não nulo serve).

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I):
  • Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}1-\lambda & 3 \\\\ -1 & 5-\lambda\end{pmatrix}.
  • Determinante (usar a fórmula para 2\times2):
\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)(5-\lambda)- (3)(-1).
  • Expandindo passo a passo:
(1-\lambda)(5-\lambda)=\lambda^2-6\lambda+5
e como subtraímos 3\cdot(-1)=-3, então
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+5+3=\lambda^2-6\lambda+8.

Passo 4

Resolver a equação característica para achar os autovalores:
  • A equação é
\lambda^2-6\lambda+8=0.
  • Usar fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) ou fatorar. Vamos fatorar: buscamos dois números cujo produto é 8 e soma é 6; são 2 e 4. Logo
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4).
  • Portanto as raízes (autovalores) são
\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=2.

Passo 5

Encontrar autovetor associado a [\lambda_1=4):
  • Montar A-4I:
A-4I=\begin{pmatrix}1-4 & 3 \\\\ -1 & 5-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 3 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix}.
  • Resolver (A-4I)v=0. Escrevendo v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, o sistema é
\begin{cases} -3x+3y=0,\\\\ - x + y =0. \end{cases}
  • Ambas equações são equivalentes e dão -x+y=0\Rightarrow y=x\]. - Então os vetores da forma \(v=\begin{pmatrix}x\x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} são autovetores; escolhemos um representante simples, por exemplo x=1:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (para ter certeza): calcular A v_1:
A\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot1+3\cdot1\\\\ -1\cdot1+5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\\ 4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},
confirmando A v_1=4 v_1.

Passo 6

Encontrar autovetor associado a [\lambda_2=2):
  • Montar A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}1-2 & 3 \\\\ -1 & 5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
  • Resolver (A-2I)v=0 com v=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}. O sistema é
\begin{cases} - x + 3y =0,\\\\ - x + 3y =0. \end{cases}
  • A equação dá -x + 3y =0\Rightarrow x=3y\]. - Assim os vetores são \(v=\begin{pmatrix}3y\y\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}. Tomando y=1 como representante simples:
v_2=\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Verificação:
A\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot3+3\cdot1\\\\ -1\cdot3+5\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\\ 2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix},
confirmando A v_2=2 v_2.

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • Encontramos dois autovalores distintos \lambda_1=4 e \lambda_2=2 e autovetores linearmente independentes v_1 e v_2. Isso significa que A é diagonalizável (mas não é necessário provar isso na prova se não for pedido).
  • Você pode usar qualquer múltiplo escalar não nulo de v_1 e v_2 como autovetores; eu escolhi representantes simples \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix} para facilitar.
  • Bom trabalho por ter chegado até aqui — agora tenta repetir o processo com outra matriz 2×2 para fixar: é sempre característico montar \det(A-\lambda I), resolver o polinômio e depois resolver (A-\lambda I)v=0.

Resposta

\lambda=4,\; v=\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}
\lambda=2,\; v=\begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}

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