Calcular erro absoluto e erro relativo de 3.1416 como aproximação de \pi.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o erro absoluto e o erro relativo de 3,1416 quando usado como aproximação do valor exato \pi.
O que foi dado:
  • Aproximação: x_{\text{ap}} = 3,1416.
  • Valor exato (constante conhecida): x_{\text{ex}} = \pi \approx 3,141592653589793\ldots.

Passo 2

Definição e fórmula do erro absoluto (aula curta e prática).
  • O erro absoluto é a diferença em valor absoluto entre a aproximação e o valor exato.
  • Fórmula:
E_a = \left|x_{\text{ap}} - x_{\text{ex}}\right|.
Aqui, E_a é o erro absoluto, x_{\text{ap}} é o valor aproximado e x_{\text{ex}} é o valor exato.
Substituindo os valores:
E_a = \left|3,1416 - \pi\right|.
Para calcular numericamente, usa-se um valor conhecido de \pi:
\pi \approx 3,141592653589793.
Fazendo a subtração:
3,1416 - 3,141592653589793 = 0,000007346410207\ldots
Logo,
E_a = 0,000007346410207\ldots \approx 7,346410207\times10^{-6}.
Explicação prática de como ver isso sem calculadora: alinhe as casas decimais e subtraia; a diferença aparece nas casas após a sexta casa decimal, resultando em alguns micros (no sentido de partes por milhão).

Passo 3

Definição e fórmula do erro relativo (aula curta e prática).
  • O erro relativo mede o erro absoluto em relação ao tamanho do valor exato; é adimensional.
  • Fórmula:
E_r = \frac{E_a}{\left|x_{\text{ex}}\right|}.
Aqui, E_r é o erro relativo e |x_{\text{ex}}| é o valor absoluto do valor exato (aqui \pi>0, então |\pi|=\pi).
Substituindo os números que já temos:
E_r = \frac{0,000007346410207\ldots}{\pi} = \frac{7,346410207\times10^{-6}}{3,141592653589793\ldots}.
Calculando a divisão:
E_r \approx 2,338306\times10^{-6}.
Interpretação e forma percentual:
  • Como número adimensional, E_r\approx 2,338306\times10^{-6}.
  • Em porcentagem, multiplica-se por 100:
E_r \approx 0,0002338306\%\\ \text{(aprox.)}.

Resposta

Erro absoluto: \left|3,1416-\pi\right| \approx 0,000007346410207 \approx 7,346410207\times10^{-6}
Erro relativo: \dfrac{\left|3,1416-\pi\right|}{\pi} \approx 2,338306\times10^{-6} (adimensional)

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