Calcular \int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.

Resolução:

x x_{0}=\ldots x_{1}=\ldots x_{2}=\ldots x_{3}=\ldots x_{4}=\ldots x_{5}=\ldots x_{6}=\ldots x_{7}=\ldots x_{8}=\ldots
f(x)
\int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x \approx \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .
Erro cometido será, no máximo:
\left|E_{T R}\right| \leq \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . .
Neste caso em particular, f(x) pode ser integrada de forma exata:
\int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x=\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Calcular a integral \displaystyle \int_{1}^{9} \sqrt{6x-5}\,dx usando o método dos trapézios com 8 repetições (ou seja, n=8).
  • Determinar uma aproximação para o erro cometido (ou seja, tanto uma cota máxima do erro pelo teorema quanto uma estimativa do erro real).
  • Observar que podemos também calcular a integral exatamente para comparar.
Informações dadas relevantes:
\;a=1,\; b=9,\; n=8,\; f(x)=\sqrt{6x-5}.

Passo 2

Calcular o passo h e os nós x_i, e avaliar f(x_i).
O passo:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{9-1}{8}=1.
Os nós são simplesmente inteiros de 1 a 9:
x_0=1,\; x_1=2,\; x_2=3,\; x_3=4,\; x_4=5,\; x_5=6,\; x_6=7,\; x_7=8,\; x_8=9.
Agora avalio f(x)=\sqrt{6x-5} em cada nó (vou dar a forma exata em radicais e uma aproximação decimal para somar):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(1)=\sqrt{6\cdot1-5}=\sqrt{1}=1,\\\ f(x_1)&=f(2)=\sqrt{12-5}=\sqrt{7}\approx2{,}645751311,\\\ f(x_2)&=f(3)=\sqrt{18-5}=\sqrt{13}\approx3{,}605551275,\\\ f(x_3)&=f(4)=\sqrt{24-5}=\sqrt{19}\approx4{,}358898944,\\\ f(x_4)&=f(5)=\sqrt{30-5}=\sqrt{25}=5,\\\ f(x_5)&=f(6)=\sqrt{36-5}=\sqrt{31}\approx5{,}567764363,\\\ f(x_6)&=f(7)=\sqrt{42-5}=\sqrt{37}\approx6{,}082762530,\\\ f(x_7)&=f(8)=\sqrt{48-5}=\sqrt{43}\approx6{,}557438524,\\\ f(x_8)&=f(9)=\sqrt{54-5}=\sqrt{49}=7. \end{aligned}
Para o trapézio precisamos de \sum_{i=1}^{7} f(x_i). Somando as aproximações:
\sum_{i=1}^{7} f(x_i)\approx 2{,}645751311+3{,}605551275+4{,}358898944+5+5{,}567764363+6{,}082762530+6{,}557438524\approx 33{,}81816695.

Passo 3

Aplicar a fórmula do método dos trapézios. Explicação rápida da fórmula: com passo h e n subintervalos,
T_n=h\left(\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right).
Aqui h=1, f(x_0)=1, f(x_8)=7 e a soma interior já calculada.
Calculo:
\frac{f(x_0)+f(x_8)}{2}=\frac{1+7}{2}=4,
então
T_8=1\big(4 + 33{,}81816695\big)=37{,}81816695\approx 37{,}81817.
Portanto a aproximação pelo método dos trapézios com 8 repetições é \approx 37{,}81817.

Passo 4

Estimativa da cota máxima do erro (fórmula teórica) e cálculo da segunda derivada.
A cota do erro para o trapézio é
\left|E_{TR}\right|\le \frac{(b-a)^3}{12n^2}\,M,
onde M=\max_{x\in[a,b]} |f''(x)|.
Calculo de f''(x). Começo por f(x)= (6x-5)^{1/2}.
f'(x)=\frac{6}{2}(6x-5)^{-1/2}= \frac{3}{\sqrt{6x-5}}.
Derivando novamente,
f''(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\big(6x-5\big)^{-1/2}=3\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(6x-5)^{-3/2}\cdot 6 = -9(6x-5)^{-3/2}.
Logo
|f''(x)|=9(6x-5)^{-3/2}.
No intervalo [1,9] a função (6x-5)^{-3/2} é decrescente em x, então o máximo está em x=1:
M=|f''(1)|=9(6\cdot1-5)^{-3/2}=9\cdot 1^{-3/2}=9.
Agora aplico a cota:
\left|E_{TR}\right|\le \frac{(9-1)^3}{12\cdot 8^2}\cdot 9 = \frac{8^3}{12\cdot 64}\cdot 9 = \frac{512}{768}\cdot 9 =\frac{2}{3}\cdot 9=6.
Portanto a cota teórica do erro é \left|E_{TR}\right|\le 6.

Passo 5

Calcular a integral exatamente (para obter o erro real) usando substituição simples.
Faço u=6x-5, então du=6\,dx ou dx=\tfrac{1}{6}du. Assim
\int \sqrt{6x-5}\,dx = \int u^{1/2}\cdot \frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{9}u^{3/2}+C.
Voltando a x,
\int_{1}^{9} \sqrt{6x-5}\,dx = \frac{1}{9}\big[(6x-5)^{3/2}\big]_{1}^{9} = \frac{1}{9}\big(49^{3/2}-1^{3/2}\big).
Como 49^{1/2}=7, temos 49^{3/2}=7^3=343, então
\int_{1}^{9} \sqrt{6x-5}\,dx=\frac{1}{9}(343-1)=\frac{342}{9}=38.
Erro real (exato menos aproximação):
E_{\text{real}}=38 - 37{,}81816695\approx 0{,}18183305.
Observação amigável: a cota teórica 6 é bem conservadora; o erro real é aproximadamente 0{,}1818, muito menor.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx \approx 37{,}81816695.
\displaystyle \text{Cota máxima do erro: }\;|E_{TR}|\le 6.á
\displaystyle \text{Erro real aproximado: }|E|\approx 0{,}18183305.
\displaystyle \text{Valor exato: } \int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx=38.

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