Calcular
empregando o método dos trapézios com 8 repetições.
Determine uma aproximação para o erro cometido.
Resolução:
Erro cometido será, no máximo:
Neste caso em particular,
pode ser integrada de forma exata:
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Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Calcular a integral
usando o método dos trapézios com repetições (ou seja, ). - Determinar uma aproximação para o erro cometido (ou seja, tanto uma cota máxima do erro pelo teorema quanto uma estimativa do erro real).
- Observar que podemos também calcular a integral exatamente para comparar.
Informações dadas relevantes:
Passo 2
Calcular o passo
e os nós
, e avaliar
.
O passo:
Os nós são simplesmente inteiros de
a
:
Agora avalio
em cada nó (vou dar a forma exata em radicais e uma aproximação decimal para somar):
Para o trapézio precisamos de
. Somando as aproximações:
Passo 3
Aplicar a fórmula do método dos trapézios. Explicação rápida da fórmula: com passo
e
subintervalos,
Aqui
,
,
e a soma interior já calculada.
Calculo:
então
Portanto a aproximação pelo método dos trapézios com
repetições é
Passo 4
Estimativa da cota máxima do erro (fórmula teórica) e cálculo da segunda derivada.
A cota do erro para o trapézio é
onde
Calculo de
. Começo por
.
Derivando novamente,
Logo
No intervalo
a função
é decrescente em
, então o máximo está em
:
Agora aplico a cota:
Portanto a cota teórica do erro é
Passo 5
Calcular a integral exatamente (para obter o erro real) usando substituição simples.
Faço
, então
ou
. Assim
Voltando a
,
Como
, temos
, então
Erro real (exato menos aproximação):
Observação amigável: a cota teórica
é bem conservadora; o erro real é aproximadamente
, muito menor.