Calcular k para que os pontos \mathrm{A}=(-1, k, 2), \mathrm{B}=(0,1,-k), \mathrm{C}=(-k, k, 1) e \mathrm{D}= (1,-2,0).sejam coplanares.
Passo 1
O enunciado dá quatro pontos no espaço tridimensional e pede o(s) valor(es) de k para que esses quatro pontos sejam coplanares. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Pontos fornecidos:
A = (-1,\; k,\; 2).
B = (0,\; 1,\; -k).
C = (-k,\; k,\; 1).
D = (1,\; -2,\; 0).
O que se pede:
Determinar os valores de k (assumindo k real) tais que os pontos A,B,C,D sejam coplanares.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática do conceito que vamos usar).
Quatro pontos A,B,C,D são coplanares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AC},\\ \overrightarrow{AD} são linearmente dependentes.
Uma forma prática de testar isso é calcular o produto misto (ou produto escalar do produto vetorial):\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr).Se esse produto misto for igual a zero, o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é zero, logo os vetores (e portanto os quatro pontos) são coplanares.
Explicando cada operação:
\overrightarrow{XY} = Y - X é o vetor que vai de X para Y (subtração coordenada a coordenada).
O produto vetorial \times entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos; sua componente i é dada por um determinante 2×2, e assim por diante.
O produto escalar \cdot entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AC},\\ \overrightarrow{AD} (subtraindo coordenadas):
\overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(0-(-1),\; 1-k,\; -k-2\bigr) = \bigl(1,\; 1-k,\; -k-2\bigr).
\overrightarrow{AC} = C - A = \bigl(-k-(-1),\; k-k,\; 1-2\bigr) = \bigl(1-k,\; 0,\; -1\bigr).
\overrightarrow{AD} = D - A = \bigl(1-(-1),\; -2-k,\; 0-2\bigr) = \bigl(2,\; -k-2,\; -2\bigr).
Confirmando: todas as operações são apenas subtração de coordenadas, elas já estão escritas em forma de vetor.
Passo 4
Calcular \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} usando a fórmula do produto vetorial:
Primeiro, testar possíveis raízes racionais (teorema das raízes racionais): candidatos são divisores de 2, ou seja \pm 1,\\ \pm 2.
k=1: 1 +1 +3 -2 = 3 \neq 0.
k=-1: -1 +1 -3 -2 = -5 \neq 0.
k=2: 8+4+6-2=16\neq0.
k=-2: -8+4-6-2=-12\neq0.
Portanto não há raízes racionais entre esses candidatos. Para encontrar a raiz real aproximada (que é o que interessa geometricamente para k\in\mathbb{R}), use um método numérico simples (bissecção), avaliando o polinômio em pontos e estreitando o intervalo onde o sinal muda.
Defina f(k)=k^3+k^2+3k-2.
f(0) = -2 < 0.
f(1) = 3 > 0. Então existe uma raiz real em (0,1).
Avaliações intermediárias para localizar com precisão:
Interpolando linearmente entre 0{,}525 (valor negativo) e 0{,}528 (valor positivo), obtemos uma aproximação da raiz:
k \approx 0{,}526\quad(\text{aprox.}\\\ 3\\ \text{casas decimais}).
Observação: a equação cúbica tem exatamente uma raiz real (e duas complexas conjugadas), então este valor é o único k real que torna os quatro pontos coplanares.