Calcular k para que os pontos \mathrm{A}=(-1, k, 2), \mathrm{B}=(0,1,-k), \mathrm{C}=(-k, k, 1) e \mathrm{D}= (1,-2,0).sejam coplanares.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos no espaço tridimensional e pede o(s) valor(es) de k para que esses quatro pontos sejam coplanares. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Pontos fornecidos:
    • A = (-1,\; k,\; 2).
    • B = (0,\; 1,\; -k).
    • C = (-k,\; k,\; 1).
    • D = (1,\; -2,\; 0).
  • O que se pede:
    • Determinar os valores de k (assumindo k real) tais que os pontos A,B,C,D sejam coplanares.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática do conceito que vamos usar).
  • Quatro pontos A,B,C,D são coplanares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AC},\\ \overrightarrow{AD} são linearmente dependentes.
  • Uma forma prática de testar isso é calcular o produto misto (ou produto escalar do produto vetorial): \overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr).Se esse produto misto for igual a zero, o volume do paralelepípedo formado por esses vetores é zero, logo os vetores (e portanto os quatro pontos) são coplanares.
Explicando cada operação:
  • \overrightarrow{XY} = Y - X é o vetor que vai de X para Y (subtração coordenada a coordenada).
  • O produto vetorial \times entre dois vetores em \mathbb{R}^3 resulta num vetor perpendicular a ambos; sua componente i é dada por um determinante 2×2, e assim por diante.
  • O produto escalar \cdot entre dois vetores é a soma dos produtos das componentes correspondentes.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB},\\ \overrightarrow{AC},\\ \overrightarrow{AD} (subtraindo coordenadas):
  • \overrightarrow{AB} = B - A = \bigl(0-(-1),\; 1-k,\; -k-2\bigr) = \bigl(1,\; 1-k,\; -k-2\bigr).
  • \overrightarrow{AC} = C - A = \bigl(-k-(-1),\; k-k,\; 1-2\bigr) = \bigl(1-k,\; 0,\; -1\bigr).
  • \overrightarrow{AD} = D - A = \bigl(1-(-1),\; -2-k,\; 0-2\bigr) = \bigl(2,\; -k-2,\; -2\bigr).
Confirmando: todas as operações são apenas subtração de coordenadas, elas já estão escritas em forma de vetor.

Passo 4

Calcular \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} usando a fórmula do produto vetorial:
Se u=(u_1,u_2,u_3) e v=(v_1,v_2,v_3) então
u\times v = \bigl(u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1\bigr).
Aplicando a \overrightarrow{AC}=(1-k,0,-1) e \overrightarrow{AD}=(2,-k-2,-2):
  • Componente x (primeira):
    (0)\cdot(-2) - (-1)\cdot(-k-2) = 0 - (k+2) = -(k+2).
  • Componente y (segunda):
    (-1)\cdot 2 - (1-k)\cdot(-2) = -2 +2(1-k) = -2 +2 -2k = -2k.
    Lembre que na fórmula do produto vetorial a segunda componente vem com sinal trocado (já usei a fórmula padrão que dá diretamente -2k).
  • Componente z (terceira):
    (1-k)\cdot(-k-2) - 0\cdot 2 = -(1-k)(k+2).
Portanto
\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = \bigl(-(k+2),\; -2k,\; -(1-k)(k+2)\bigr).

Passo 5

Fazer o produto escalar \overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}) e impor igual a zero.
  • \overrightarrow{AB}=(1,\;1-k,\;-k-2).
Então
\overrightarrow{AB}\cdot\bigl(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}\bigr) = 1\cdot\bigl(-(k+2)\bigr) + (1-k)\cdot(-2k) + (-k-2)\cdot\bigl(-(1-k)(k+2)\bigr).
Vamos simplificar termo a termo:
  1. Primeiro termo: - (k+2).
  2. Segundo termo:
(1-k)(-2k) = -2k(1-k) = -2k + 2k^2.
  1. Terceiro termo:
(-k-2)\cdot\bigl(-(1-k)(k+2)\bigr) = (k+2)\cdot(1-k)\cdot(k+2) = (1-k)(k+2)^2.
Somando tudo:
-(k+2) -2k + 2k^2 + (1-k)(k+2)^2 = 0.
Agora expandir e simplificar para obter um polinômio em k.
Primeiro expandir (1-k)(k+2)^2.
(k+2)^2 = k^2 +4k +4,
(1-k)(k^2+4k+4) = k^2+4k+4 - k^3 -4k^2 -4k = -k^3 -3k^2 +4.
Agora somar os outros termos:
-(k+2) -2k + 2k^2 + \bigl(-k^3 -3k^2 +4\bigr).
Agrupando termos semelhantes:
  • k^3: -k^3.
  • k^2: 2k^2 -3k^2 = -k^2.
  • k: -k -2k = -3k.
  • constantes: -2 +4 = 2.
Logo o produto misto é
- k^3 - k^2 - 3k + 2.
Impondo coplanaridade:
- k^3 - k^2 - 3k + 2 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar mais limpo:
k^3 + k^2 + 3k - 2 = 0.

Passo 6

Resolver a equação cúbica k^3 + k^2 + 3k - 2 = 0.
  • Primeiro, testar possíveis raízes racionais (teorema das raízes racionais): candidatos são divisores de 2, ou seja \pm 1,\\ \pm 2.
    • k=1: 1 +1 +3 -2 = 3 \neq 0.
    • k=-1: -1 +1 -3 -2 = -5 \neq 0.
    • k=2: 8+4+6-2=16\neq0.
    • k=-2: -8+4-6-2=-12\neq0.
Portanto não há raízes racionais entre esses candidatos. Para encontrar a raiz real aproximada (que é o que interessa geometricamente para k\in\mathbb{R}), use um método numérico simples (bissecção), avaliando o polinômio em pontos e estreitando o intervalo onde o sinal muda.
Defina f(k)=k^3+k^2+3k-2.
  • f(0) = -2 < 0.
  • f(1) = 3 > 0. Então existe uma raiz real em (0,1).
Avaliações intermediárias para localizar com precisão:
  • f(0{,}5) = 0{,}125 + 0{,}25 + 1{,}5 - 2 = -0{,}125 (negativo).
  • f(0{,}53) \approx 0{,}148877 + 0{,}2809 + 1{,}59 - 2 \approx 0{,}0198 (positivo).
Logo a raiz está em (0{,}50,\;0{,}53).
Refinando:
  • f(0{,}525) \approx 0{,}144703 + 0{,}275625 + 1{,}575 - 2 \approx -0{,}0047.
  • f(0{,}528) \approx 0{,}1473 + 0{,}2788 + 1{,}584 - 2 \approx 0{,}0101.
Interpolando linearmente entre 0{,}525 (valor negativo) e 0{,}528 (valor positivo), obtemos uma aproximação da raiz:
k \approx 0{,}526\quad(\text{aprox.}\\\ 3\\ \text{casas decimais}).
Observação: a equação cúbica tem exatamente uma raiz real (e duas complexas conjugadas), então este valor é o único k real que torna os quatro pontos coplanares.

Resposta

k \approx 0{,}526

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