Calcular o limite.
\lim \operatorname{arctg}\left(x^{2}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite da função dada. Vou interpretar a notação omitida como o caso mais comum aqui: calcular
\lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
Informações que temos:
  • A função que aparece é \operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}-4\bigr).
  • A variável x é real e estamos considerando o comportamento quando x fica muito grande (isto é, x\to\infty).
  • Não há outros parâmetros no enunciado.

Passo 2

Entender a função externa \operatorname{arctg} (arco-tangente) — propriedades úteis:
  • A função \operatorname{arctg} tem imagem (valores possíveis) contida em \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right).
  • \operatorname{arctg} é contínua e estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
  • Comportamento nas extremidades: quando o argumento y tende a +\infty, tem-se
\lim_{y\to+\infty}\operatorname{arctg}(y)=\frac{\pi}{2},
e quando y\to-\infty,
\lim_{y\to-\infty}\operatorname{arctg}(y)=-\frac{\pi}{2}.
Explicação curta do porquê: \operatorname{arctg} é a inversa da função \tan restrita a \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); à medida que um argumento de \tan se aproxima de \tfrac{\pi}{2} pela esquerda, \tan tende a +\infty, logo a inversa tende a \tfrac{\pi}{2} quando o argumento da inversa cresce sem limite.

Passo 3

Analisar o argumento interno x^{2}-4 quando x\to\infty:
  • Sabemos que \lim_{x\to\infty}x^{2}=+\infty porque o quadrado de x cresce sem bound quando x cresce em módulo.
  • Subtrair 4 não altera o comportamento de divergência para +\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty}\bigl(x^{2}-4\bigr)=+\infty.

Passo 4

Passar o limite através da composição usando continuidade e o comportamento extremo da arctangente:
  • Como \operatorname{arctg} é contínua em todo \mathbb{R} e já sabemos que o argumento tende a +\infty, aplicamos a propriedade do Passo 2:
\lim_{x\to\infty}\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}-4\bigr) = \lim_{y\to+\infty}\operatorname{arctg}(y) = \frac{\pi}{2}.

Passo 5

Comentário extra útil para a prova (rápido e prático):
  • Se alguém perguntar \lim_{x\to-\infty}\operatorname{arctg}\!\bigl(x^{2}-4\bigr), a resposta é a mesma, porque \lim_{x\to-\infty}x^{2}=+\infty também; logo o limite também é \dfrac{\pi}{2}.
  • Intuição: x^{2}-4 fica muito grande positivo tanto para x\to+\infty quanto para x\to-\infty; arctg de um número muito grande é praticamente \dfrac{\pi}{2}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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