Calcular o limite.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite da função dada. Vou interpretar a notação omitida como o caso mais comum aqui: calcular
Informações que temos:
- A função que aparece é
. - A variável
é real e estamos considerando o comportamento quando fica muito grande (isto é, ). - Não há outros parâmetros no enunciado.
Passo 2
Entender a função externa
(arco-tangente) — propriedades úteis:
- A função
tem imagem (valores possíveis) contida em . -
é contínua e estritamente crescente em todo . - Comportamento nas extremidades: quando o argumento
tende a , tem-se
e quando
,
Explicação curta do porquê:
é a inversa da função
restrita a
; à medida que um argumento de
se aproxima de
pela esquerda,
tende a
, logo a inversa tende a
quando o argumento da inversa cresce sem limite.
Passo 3
Analisar o argumento interno
quando
:
- Sabemos que
porque o quadrado de cresce sem bound quando cresce em módulo. - Subtrair
não altera o comportamento de divergência para . Portanto
Passo 4
Passar o limite através da composição usando continuidade e o comportamento extremo da arctangente:
- Como
é contínua em todo e já sabemos que o argumento tende a , aplicamos a propriedade do Passo 2:
Passo 5
Comentário extra útil para a prova (rápido e prático):
- Se alguém perguntar
, a resposta é a mesma, porque também; logo o limite também é . - Intuição:
fica muito grande positivo tanto para quanto para ; arctg de um número muito grande é praticamente .