Calcular a solução dos sistemas a seguir utilizando a decomposição de Cholesky.
\left[\begin{array}{rrr}4 & -2 & 2 \\\ -2 & 10 & -7 \\\ 2 & -7 & 30\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}8 \\\ 11 \\\ -31\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{pmatrix} 4 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 10 & -7\\[4pt] 2 & -7 & 30 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]11\\[4pt]-31\end{pmatrix}
usando a decomposição de Cholesky.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} 4 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 10 & -7\\[4pt] 2 & -7 & 30 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]11\\[4pt]-31\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar o vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} resolvendo A\mathbf{u}=\mathbf{b} por Cholesky.]

Passo 2

O que é Cholesky e quando usar: a decomposição de Cholesky é uma fatoração de matrizes simétricas e definidas positivas na forma
A = LL^{T},
onde L é triangular inferior com entradas reais e diagonais positivas. Essa fatoração é ótima para resolver sistemas A\mathbf{u}=\mathbf{b} porque reduz o problema a dois sistemas triangulares mais simples:
L\mathbf{d}=\mathbf{b}\quad\text{(substituição direta / forward)}çã
L^{T}\mathbf{u}=\mathbf{d}\quad\text{(substituição regressiva / backward)}çã
Fórmulas práticas para construir L (elementos l_{ij}):
l_{ii}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} l_{ik}^{2}},\qquad l_{ij}=\frac{1}{l_{jj}}\left(a_{ij}-\sum_{k=1}^{j-1} l_{ik}\,l_{jk}\right)\\ \text{para } i>j.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo ao nosso A.

Passo 3

Vamos construir L elemento a elemento. Escrevemos L como
L=\begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0\\[4pt] l_{21} & l_{22} & 0\\[4pt] l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix}.
  1. Calcular l_{11}:
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2.
  1. Calcular l_{21} e l_{31} (coluna 1, fora da diagonal):
l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{-2}{2}=-1,
l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{2}{2}=1.
  1. Calcular l_{22}:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{10-(-1)^{2}}=\sqrt{10-1}=\sqrt{9}=3.
  1. Calcular l_{32} (posição (3,2)):
l_{32}=\frac{1}{l_{22}}\bigl(a_{32}-l_{31}l_{21}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(-7 - (1)(-1)\bigr) =\frac{-7+1}{3}=\frac{-6}{3}=-2.
  1. Calcular l_{33}:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}} =\sqrt{30-1^{2}-(-2)^{2}} =\sqrt{30-1-4} =\sqrt{25}=5.
Assim
L=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\[4pt] -1 & 3 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Breve verificação mental: multiplicando LL^{T} recobraremos A. Não preciso expandir tudo aqui, mas os termos diagonais e simetria batem com os cálculos acima — isso confirma a consistência da fatoração.

Passo 5

Resolver L\mathbf{d}=\mathbf{b} por substituição direta (forward). Escrevemos \mathbf{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})^{T}.
Sistema escrito componente a componente:
2d_{1}=8,
-1\cdot d_{1}+3d_{2}=11,
1\cdot d_{1}-2d_{2}+5d_{3}=-31.
Resolvendo passo a passo:
d_{1}=\frac{8}{2}=4.
Substituindo em segunda equação:
-1\cdot 4 + 3d_{2}=11 \implies -4+3d_{2}=11 \implies 3d_{2}=15 \implies d_{2}=5.
Substituindo em terceira:
1\cdot 4 -2\cdot 5 +5d_{3}=-31 \implies 4-10+5d_{3}=-31 \implies -6+5d_{3}=-31
\implies 5d_{3}=-25 \implies d_{3}=-5.
Portanto
\mathbf{d}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]5\\[4pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolver L^{T}\mathbf{u}=\mathbf{d} por substituição regressiva (backward). Lembrando
L^{T}=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.
Escrevendo as equações (de baixo para cima é mais prático):
  1. Terceira equação:
5z=d_{3}=-5 \implies z=-1.
  1. Segunda equação:
3y -2z = d_{2}=5 \implies 3y -2(-1)=5 \implies 3y+2=5 \implies 3y=3 \implies y=1.
  1. Primeira equação:
2x - y + z = d_{1}=4 \implies 2x -1 +(-1)=4 \implies 2x-2=4 \implies 2x=6 \implies x=3.
Logo
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Resposta

x=3
y=1
z=-1

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