O objetivo é encontrar o vetor \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} resolvendo A\mathbf{u}=\mathbf{b} por Cholesky.]
Passo 2
O que é Cholesky e quando usar: a decomposição de Cholesky é uma fatoração de matrizes simétricas e definidas positivas na forma
A = LL^{T},
onde L é triangular inferior com entradas reais e diagonais positivas. Essa fatoração é ótima para resolver sistemas A\mathbf{u}=\mathbf{b} porque reduz o problema a dois sistemas triangulares mais simples:
Breve verificação mental: multiplicando LL^{T} recobraremos A. Não preciso expandir tudo aqui, mas os termos diagonais e simetria batem com os cálculos acima — isso confirma a consistência da fatoração.
Passo 5
Resolver L\mathbf{d}=\mathbf{b} por substituição direta (forward). Escrevemos \mathbf{d}=(d_{1},d_{2},d_{3})^{T}.