Calcular una aproximaçio para
, utilizando a regra dos retāngulos (ponto médio) com 6 pontos igualmente espaçados e cinco casas decimais.
(a) 2,55218
(b) 1,71828
(c) 2,71828
(a) 2,55218
(b) 1,71828
(c) 2,71828
Passo 1
O problema pede uma aproximação numérica para a integral
usando a regra dos retângulos pelo ponto médio (midpoint rule) com
subintervalos igualmente espaçados e arredondando o resultado a cinco casas decimais.
Informações dadas e relevantes:
Informações dadas e relevantes:
- Intervalo de integração:
. - Número de subintervalos:
. - Método: regra dos retângulos (ponto médio).
- Precisão pedida: cinco casas decimais.
Passo 2
Explico a regra dos retângulos (ponto médio) de forma clara e prática.
Separamos o intervalo em
subintervalos iguais de largura
. A aproximação pelo ponto médio é
Separamos o intervalo
onde
é o ponto médio do
-ésimo subintervalo. Aqui
,
e
.
O passo
é dado por
Passo 3
Calculo de
e dos pontos médios
.
Como ,
e
,
Como
Os pontos médios
de cada subintervalo (para
) são os valores
Portanto os
pontos médios são, explicitamente:
Passo 4
Como calcular
numericamente (dica importante para a prova).
Para qualquer usamos a identidade
Para qualquer
Isto evita confusão com potências onde a base e o expoente são variáveis. Explico cada símbolo:
-
é o logaritmo natural de . -
é o produto (um número escalar). -
é .
Vou calcular
para cada
. Em cada caso mostro
,
, o produto
e finalmente
. Para aproximar
usei a expansão exponencial de baixo grau (ou multiplicações por exponenciais conhecidas) para obter 6–9 dígitos confiáveis antes do arredondamento final:
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
-
.
Observação simpática: perceba como transformamos uma potência com base e expoente variáveis em uma exponencial simples — é uma técnica que cai bastante na prova.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da regra do ponto médio:
com
. Somando os valores obtidos:
Fazendo a soma (com precisão suficiente) obtemos
Multiplicando por
,
Arredondando para cinco casas decimais (como foi pedido) obtemos
.