Calcular una aproximaçio para \int_{0.0}^{1.0} r^{r} d r, utilizando a regra dos retāngulos (ponto médio) com 6 pontos igualmente espaçados e cinco casas decimais.
(a) 2,55218
(b) 1,71828
(c) 2,71828

Passo 1

O problema pede uma aproximação numérica para a integral
\int_{0,0}^{1,0} r^{r}\,dr,
usando a regra dos retângulos pelo ponto médio (midpoint rule) com 6 subintervalos igualmente espaçados e arredondando o resultado a cinco casas decimais.
Informações dadas e relevantes:
  • Intervalo de integração: [0,0,\;1,0].
  • Número de subintervalos: n=6.
  • Método: regra dos retângulos (ponto médio).
  • Precisão pedida: cinco casas decimais.

Passo 2

Explico a regra dos retângulos (ponto médio) de forma clara e prática.
Separamos o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais de largura h. A aproximação pelo ponto médio é
\text{Aproximação} \;=\; h\sum_{i=1}^{n} f(m_i),çã
onde m_i é o ponto médio do i-ésimo subintervalo. Aqui a=0,0, b=1,0 e f(r)=r^{r}.
O passo \;h\; é dado por
h=\frac{b-a}{n}.

Passo 3

Calculo de h e dos pontos médios m_i.
Como a=0,0, b=1,0 e n=6,
h=\frac{1,0-0,0}{6}=\frac{1}{6}.
Os pontos médios m_i de cada subintervalo (para i=1,\dots,6) são os valores
m_i = \left(i-\tfrac{1}{2}\right)h = \frac{2i-1}{12}.
Portanto os 6 pontos médios são, explicitamente:
m_1=\frac{1}{12},\quad m_2=\frac{3}{12}=\frac{1}{4},\quad m_3=\frac{5}{12},\quad m_4=\frac{7}{12},\quad m_5=\frac{9}{12}=\frac{3}{4},\quad m_6=\frac{11}{12}.

Passo 4

Como calcular r^{r} numericamente (dica importante para a prova).
Para qualquer r>0 usamos a identidade
r^{r}=\exp\big(r\ln r\big).
Isto evita confusão com potências onde a base e o expoente são variáveis. Explico cada símbolo:
  • \ln r é o logaritmo natural de r.
  • r\ln r é o produto (um número escalar).
  • \exp(\cdot) é e^{(\cdot)}.
Vou calcular f(m_i)=m_i^{m_i} para cada i. Em cada caso mostro m_i, \ln m_i, o produto m_i\ln m_i e finalmente m_i^{m_i}=\exp(m_i\ln m_i). Para aproximar \exp(\cdot) usei a expansão exponencial de baixo grau (ou multiplicações por exponenciais conhecidas) para obter 6–9 dígitos confiáveis antes do arredondamento final:
  1. m_1=\dfrac{1}{12}.
\ln\!\left(\tfrac{1}{12}\right)=-\ln 12\approx -2,4849066497880004,
m_1\ln m_1=\frac{1}{12}(-2,4849066497880004)\approx -0,20707555414900003,
m_1^{m_1}=\exp(-0,20707555414900003)\approx 0,812958238.
  1. m_2=\dfrac{1}{4}=0,25.
\ln 0,25=-1,3862943611198906,\quad m_2\ln m_2=0,25\cdot(-1,3862943611198906)=-0,34657359027997265,
m_2^{m_2}=\exp(-0,34657359027997265)=0,7071067811865476\quad(\text{exato: }(1/4)^{1/4}=1/\sqrt{2}).
  1. m_3=\dfrac{5}{12}.
\ln\!\left(\tfrac{5}{12}\right)=\ln 5-\ln 12\approx -0,8754687373539001,
m_3\ln m_3=\frac{5}{12}\cdot(-0,8754687373539001)\approx -0,36477864056412504,
m_3^{m_3}=\exp(-0,36477864056412504)\approx 0,694350505.
  1. m_4=\dfrac{7}{12}.
\ln\!\left(\tfrac{7}{12}\right)=\ln 7-\ln 12\approx -0,5389965007326872,
m_4\ln m_4=\frac{7}{12}\cdot(-0,5389965007326872)\approx -0,31441462542740086,
m_4^{m_4}=\exp(-0,31441462542740086)\approx 0,730217665.
  1. m_5=\dfrac{3}{4}=0,75.
\ln 0,75\approx -0,2876820724517809,
m_5\ln m_5=0,75\cdot(-0,2876820724517809)\approx -0,21576155433883567,
m_5^{m_5}=\exp(-0,21576155433883567)\approx 0,805927244.
  1. m_6=\dfrac{11}{12}.
\ln\!\left(\tfrac{11}{12}\right)=\ln 11-\ln 12\approx -0,08701137698962966,
m_6\ln m_6=\frac{11}{12}\cdot(-0,08701137698962966)\approx -0,07976042890716052,
m_6^{m_6}=\exp(-0,07976042890716052)\approx 0,923337703.
Observação simpática: perceba como transformamos uma potência com base e expoente variáveis em uma exponencial simples — é uma técnica que cai bastante na prova.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da regra do ponto médio:
\text{Aproximação}=h\sum_{i=1}^{6} m_i^{m_i},çã
com h=\dfrac{1}{6}. Somando os valores obtidos:
\sum_{i=1}^{6} m_i^{m_i}\approx 0,812958238+0,7071067811865476+0,694350505+0,730217665+0,805927244+0,923337703.
Fazendo a soma (com precisão suficiente) obtemos
\sum_{i=1}^{6} m_i^{m_i}\approx 4,673898136.
Multiplicando por h=\dfrac{1}{6},
\text{Aproximação} \approx \frac{4,673898136}{6}\approx 0,778983022666\ldotsçã
Arredondando para cinco casas decimais (como foi pedido) obtemos 0,77898.

Resposta

0,77898

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