Calcular o volume do tetraedro A B C D e a medida da altura traçada do vértice A sendo dados: \mathrm{A}=(1,0,0), \mathrm{B}=(0,1,0), \mathrm{C}=(0,0,1) e \mathrm{D}=(4,2,7)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que está dado.
Perguntas: calcular
o volume do tetraedro formado pelos pontos A,B,C,D;
a medida da altura traçada do vértice A até a face BCD (ou seja, a distância de A ao plano determinado por B,C,D).
Pontos dados:
A=(1,0,0)
B=(0,1,0)
C=(0,0,1)
D=(4,2,7)
Passo 2
Estratégia para calcular o volume (fórmula e explicação).
Seja \vec{u},\vec{v},\vec{w} três vetores que saem de um mesmo vértice, o volume do tetraedro determinado por esses vetores é
Aqui \det(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é o produto misto (ou produto triple scalar) \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}). Intuição rápida: o determinante dá o volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores, e um tetraedro formado por três arestas concorrentes corresponde a 1/6 desse paralelepípedo.
Aplicaremos isso tomando como vetores as arestas que saem de A: \vec{AB},\vec{AC},\vec{AD}.
Passo 3
Calcular os vetores a partir de A.
Definição: para dois pontos P=(x_p,y_p,z_p) e Q=(x_q,y_q,z_q), \vec{PQ}=Q-P=(x_q-x_p,\;y_q-y_p,\;z_q-z_p).
Então:\vec{AB}=B-A=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),
\vec{AC}=C-A=(0,0,1)-(1,0,0)=(-1,0,1),
\vec{AD}=D-A=(4,2,7)-(1,0,0)=(3,2,7).
Passo 4
Calcular o produto vetorial \vec{AC}\times\vec{AD} (passo intermediário para o produto misto).
Regra (determinante 3×3): para \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3),
Aplicando com \vec{p}=\vec{AC}=(-1,0,1) e \vec{q}=\vec{AD}=(3,2,7):\vec{AC}\times\vec{AD}=\big(0\cdot7-1\cdot2,\;1\cdot3-(-1)\cdot7,\;(-1)\cdot2-0\cdot3\big).Calculando cada componente:\vec{AC}\times\vec{AD}=(-2,\;3+7,\;-2)=(-2,10,-2).
Passo 5
Calcular o produto misto \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) e o volume.
Com \vec{AB}=(-1,1,0) e \vec{AC}\times\vec{AD}=(-2,10,-2):\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) = (-1)(-2) + 1\cdot10 + 0\cdot(-2) = 2 + 10 + 0 = 12.
Volume do tetraedro:V=\frac{1}{6}\left|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\right|=\frac{1}{6}\cdot 12 = 2.
Passo 6
Estratégia para calcular a altura de A sobre a face BCD.
A altura h_A é a distância perpendicular de A ao plano que contém B,C,D.
Relação com o volume: se a face BCD for usada como base, entãoV=\frac{1}{3}\,\big(\text{área do triângulo }BCD\big)\cdot h_A.áâLogoh_A=\frac{3V}{\text{área}(BCD)}.á
Para calcular a área do triângulo BCD usamos vetores \vec{BC} e \vec{BD} e a fórmula\text{área}(BCD)=\frac{1}{2}\left\|\vec{BC}\times\vec{BD}\right\|.á
Passo 7
Calcular \vec{BC} e \vec{BD}.
Pelo mesmo procedimento de subtração:\vec{BC}=C-B=(0,0,1)-(0,1,0)=(0,-1,1),
\vec{BD}=D-B=(4,2,7)-(0,1,0)=(4,1,7).
Passo 8
Calcular \vec{BC}\times\vec{BD} e a área do triângulo BCD.
Usando a fórmula do produto vetorial para \vec{BC}=(0,-1,1) e \vec{BD}=(4,1,7):\vec{BC}\times\vec{BD}=\big((-1)\cdot7-1\cdot1,\;1\cdot4-0\cdot7,\;0\cdot1-(-1)\cdot4\big).Calculando:\vec{BC}\times\vec{BD}=(-7-1,\;4-0,\;0+4)=(-8,4,4).
Norma (módulo) desse vetor:\left\|(-8,4,4)\right\|=\sqrt{(-8)^2+4^2+4^2}=\sqrt{64+16+16}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}.
Área do triângulo BCD:\text{área}(BCD)=\tfrac{1}{2}\cdot 4\sqrt{6}=2\sqrt{6}.á
Passo 9
Calcular a altura h_A usando V=\dfrac{1}{3}\,\text{área}\cdot h_Aá e simplificar.
Já temos V=2 e \text{área}(BCD)=2\sqrt{6}á. Entãoh_A=\frac{3V}{\text{área}(BCD)}=\frac{3\cdot 2}{2\sqrt{6}}=\frac{6}{2\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}.á
Racionalizando (opcional, para forma mais limpa):\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Resposta
Volume =2
Altura trazida do vértice A até a face BCD=\dfrac{\sqrt{6}}{2}