Calcular o volume do tetraedro A B C D e a medida da altura traçada do vértice A sendo dados: \mathrm{A}=(-1,3,2), \mathrm{B}=(0,1,-1), \mathrm{C}=(-2,0,1) e \mathrm{D}=(1,-2,0)
Passo 1
O enunciado fornece as coordenadas dos quatro vértices do tetraedro e pede duas coisas:
Pontos dados:
A = (-1,3,2)
B = (0,1,-1)
C = (-2,0,1)
D = (1,-2,0)
O que se pede:
Calcular o volume do tetraedro A B C D.
Determinar a medida da altura traçada do vértice A até a face B C D.
Passo 2
Plano de ação (curto e direto): vou calcular o volume usando o determinante (produto misto) das três arestas saindo de A, e vou calcular a altura como a distância do ponto A ao plano que contém B,C,D. Primeiro montamos os vetores saindo de A:
Explicação breve do conceito usado (didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é o valor absoluto do produto misto |(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}|, que é igual ao valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores. O tetraedro formado por esses três vetores a partir de um vértice ocupa exatamente \tfrac{1}{6} desse paralelepípedo (porque o paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes), portanto
O valor absoluto é |\det(M)|=24. Logo o volume do tetraedro é
V=\frac{1}{6}\cdot 24=4.
Um comentário amigo: já chegamos ao volume! Resultado simples: 4 (unidades cúbicas). Segue a parte da altura.]
Passo 4
Para a altura do vértice A relativa à face BCD, uso a fórmula da distância de um ponto a um plano. Primeiro obtenho um vetor normal ao plano BCD. Tomando dois vetores dentro do plano saindo de B: