Calcular o volume do tetraedro A B C D e a medida da altura traçada do vértice A sendo dados:
\mathrm{A}=(-1,3,2), \mathrm{B}=(0,1,-1), \mathrm{C}=(-2,0,1) e \mathrm{D}=(1,-2,0)

Passo 1

O enunciado fornece as coordenadas dos quatro vértices do tetraedro e pede duas coisas:
  • Pontos dados:
    • A = (-1,3,2)
    • B = (0,1,-1)
    • C = (-2,0,1)
    • D = (1,-2,0)
  • O que se pede:
    1. Calcular o volume do tetraedro A B C D.
    2. Determinar a medida da altura traçada do vértice A até a face B C D.

Passo 2

Plano de ação (curto e direto): vou calcular o volume usando o determinante (produto misto) das três arestas saindo de A, e vou calcular a altura como a distância do ponto A ao plano que contém B,C,D. Primeiro montamos os vetores saindo de A:
\overrightarrow{AB}=B-A,\qquad \overrightarrow{AC}=C-A,\qquad \overrightarrow{AD}=D-A.
Calculemos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AB}=(0-(-1),\;1-3,\;-1-2)=(1,-2,-3),
\overrightarrow{AC}=(-2-(-1),\;0-3,\;1-2)=(-1,-3,-1),
\overrightarrow{AD}=(1-(-1),\;-2-3,\;0-2)=(2,-5,-2).
Explicação breve do conceito usado (didática): o volume do paralelepípedo determinado por três vetores \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} é o valor absoluto do produto misto |(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w}|, que é igual ao valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores. O tetraedro formado por esses três vetores a partir de um vértice ocupa exatamente \tfrac{1}{6} desse paralelepípedo (porque o paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes), portanto
V=\frac{1}{6}\Big|\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)\Big|.

Passo 3

Calculemos o determinante explicitamente. Escrevendo os vetores como colunas da matriz:
M=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] -2 & -3 & -5\\[4pt] -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}.
Usando a regra de Sarrus / desenvolvimento pela primeira linha:
\det(M)=1\cdot\det\begin{pmatrix}-3 & -5\\[2pt]-1 & -2\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\[2pt]-3 & -2\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt]-3 & -1\end{pmatrix}.
Calcule cada menor:
\det\begin{pmatrix}-3 & -5\\[2pt]-1 & -2\end{pmatrix}=(-3)(-2)-(-5)(-1)=6-5=1,
\det\begin{pmatrix}-2 & -5\\[2pt]-3 & -2\end{pmatrix}=(-2)(-2)-(-5)(-3)=4-15=-11,
\det\begin{pmatrix}-2 & -3\\[2pt]-3 & -1\end{pmatrix}=(-2)(-1)-(-3)(-3)=2-9=-7.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot 1 -(-1)\cdot(-11) + 2\cdot(-7)=1-11-14=-24.
O valor absoluto é |\det(M)|=24. Logo o volume do tetraedro é
V=\frac{1}{6}\cdot 24=4.
Um comentário amigo: já chegamos ao volume! Resultado simples: 4 (unidades cúbicas). Segue a parte da altura.]

Passo 4

Para a altura do vértice A relativa à face BCD, uso a fórmula da distância de um ponto a um plano. Primeiro obtenho um vetor normal ao plano BCD. Tomando dois vetores dentro do plano saindo de B:
\overrightarrow{BC}=C-B,\qquad \overrightarrow{BD}=D-B.
Calcule:
\overrightarrow{BC}=(-2-0,\;0-1,\;1-(-1))=(-2,-1,2),
\overrightarrow{BD}=(1-0,\;-2-1,\;0-(-1))=(1,-3,1).
O vetor normal \mathbf{n} pode ser obtido pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}.
Calculando coordenada a coordenada:
\mathbf{n}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] -2 & -1 & 2\\[2pt] 1 & -3 & 1 \end{vmatrix} =( -1\cdot 1 - 2\cdot(-3),\; 2\cdot 1 - (-2)\cdot 1,\; -2\cdot(-3) - (-1)\cdot 1).
Fazendo as contas:
\mathbf{n}=( -1 -(-6),\; 2 -(-2),\; 6 -(-1) )=(5,4,7).
O comprimento de \mathbf{n} é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{5^{2}+4^{2}+7^{2}}=\sqrt{25+16+49}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.]

Passo 5

Agora a distância do ponto A ao plano que passa por B com normal \mathbf{n} é
h=\frac{\big|\,(A-B)\cdot\mathbf{n}\,\big|}{\|\mathbf{n}\|}.
Calcule o vetor A-B:
A-B=(-1-0,\;3-1,\;2-(-1))=(-1,2,3).
O produto escalar é
(A-B)\cdot\mathbf{n}=(-1)\cdot 5 + 2\cdot 4 + 3\cdot 7 = -5+8+21=24.
Portanto
h=\frac{|24|}{3\sqrt{10}}=\frac{24}{3\sqrt{10}}=\frac{8}{\sqrt{10}}.
Se preferir a forma racionalizada:
h=\frac{8}{\sqrt{10}}=\frac{8\sqrt{10}}{10}=\frac{4\sqrt{10}}{5}.

Passo 6

Verificação rápida e pedagógica (pra ficar mais tranquilo): a área da face BCD é
\text{Área}_{BCD}=\tfrac{1}{2}\|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BD}\|=\tfrac{1}{2}\|\mathbf{n}\|=\tfrac{1}{2}\cdot 3\sqrt{10}=\tfrac{3\sqrt{10}}{2}.Á
Usando a fórmula do volume com base BCD temos
V=\tfrac{1}{3}\,\text{Área}_{BCD}\cdot h=\tfrac{1}{3}\cdot \tfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot \frac{8}{\sqrt{10}}=4,Á
confere com o volume calculado antes. Beleza — tudo consistente!

Resposta

Volume =4.
Altura a partir de A sobre a face BCD: h=\dfrac{8}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{5}.

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