1. Ao calcularmos a projeção ortogonal do vetor \vec{u}=(1,-1) na direção da reta y=2 x-3 encontramos o vetor:
    a) \left(-\frac{3 \sqrt{5}}{10},-\frac{3 \sqrt{5}}{5}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor \vec{u} = (1,-1) e a reta y=2x-3. A pergunta é: qual é a projeção ortogonal de \vec{u} na direção dessa reta? O enunciado apresenta uma alternativa:
  • (a) \left(-\dfrac{3\sqrt{5}}{10},-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right)

Passo 2

Primeiro precisamos extrair a direção da reta. A reta y=2x-3 tem coeficiente angular m=2. Um vetor que indica a direção dessa reta pode ser escolhido como
\vec{d}=(1,2),
porque ao aumentar x em 1 a reta aumenta y em 2. Então a direção (ou um vetor diretor) é \vec{d}=(1,2).

Passo 3

Agora vou explicar a fórmula da projeção vetorial (a que você deve usar na prova). Dados dois vetores \vec{u} e \vec{a}, a projeção de \vec{u} na direção de \vec{a} (vetorial) é
\mathrm{proj}_{\vec{a}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\;\vec{a}.
Explicando cada parte:
  • \vec{u}\cdot\vec{a} é o produto escalar entre \vec{u} e \vec{a}; para vetores em \mathbb{R}^2 com componentes \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{a}=(a_1,a_2), \vec{u}\cdot\vec{a}=u_1a_1+u_2a_2.
  • \vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2 é o quadrado da norma de \vec{a}.
  • O quociente \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{\vec{a}\cdot\vec{a}} é um escalar que mede quanto de \vec{a} está em \vec{u}; multiplicando por \vec{a} volta-se a um vetor na direção de \vec{a}.
Essa fórmula é útil porque não exige normalizar \vec{a} — dá diretamente o vetor-projeção.

Passo 4

Calculemos o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{d}. Com \vec{u}=(1,-1) e \vec{d}=(1,2):
\vec{u}\cdot\vec{d}=1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 1-2 = -1.

Passo 5

Calculemos \vec{d}\cdot\vec{d}=|\vec{d}|^2:
\vec{d}\cdot\vec{d}=1^2+2^2=1+4=5.

Passo 6

Aplicando a fórmula da projeção:
\mathrm{proj}_{\vec{d}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\;\vec{d}=\frac{-1}{5}\,(1,2).
Multiplicando o escalar nas componentes:
\mathrm{proj}_{\vec{d}}(\vec{u})=\left(-\frac{1}{5}, -\frac{2}{5}\right).

Passo 7

Comparando com a alternativa (a) dada, que é \left(-\dfrac{3\sqrt{5}}{10},-\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\right), vemos que os componentes não coincidem com \left(-\dfrac{1}{5}, -\dfrac{2}{5}\right). Portanto a alternativa (a) está incorreta; a projeção correta é o vetor que encontramos no passo anterior.

Resposta

\left(-\dfrac{1}{5},-\dfrac{2}{5}\right)

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