1 Calcule aproximações por diferenças progressivas e regressivas e aproximações por diferenças centradas a primeira derivada de \mathrm{y}=\cos \mathrm{x} em \mathrm{x}=\pi / 4 usando um valor de \mathrm{h}=\pi / 12. Faça uma estimativa do erro relativo porcentual verdadeiro para cada aproximação.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular aproximações da primeira derivada de y=\cos x em x=\pi/4 usando:
    • diferença progressiva (forward),
    • diferença regressiva (backward),
    • diferença centrada (central),
      com passo h=\pi/12.
  • Para cada aproximação, estimar o erro relativo percentual verdadeiro (ou seja, comparar com o valor exato da derivada).
Informações dadas:
  • Função: y=\cos x.
  • Ponto onde queremos a derivada: x=\pi/4.
  • Passo: h=\pi/12.

Passo 2

Fórmulas que vamos usar (explico cada coisa):
  • Seja f(x)=\cos x e h o passo. As fórmulas de diferenças finitas para a primeira derivada são:
    • diferença progressiva:
    f'_{\text{prog}}(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.Aqui calculamos a inclinação do segmento que liga o ponto x ao ponto x+h.
    • diferença regressiva:
    f'_{\text{reg}}(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}.É análoga à progressiva, só que usa o ponto anterior x-h.
    • diferença centrada:
    f'_{\text{cent}}(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.Esta média elimina termos de erro de ordem h e costuma ser mais precisa.
  • Erro relativo percentual verdadeiro: se f'(x) é o valor exato e \tilde f' é a aproximação, então \text{erro percentual} = \left|\frac{f'(x)-\tilde f'}{f'(x)}\right|\times 100\%.

Passo 3

Valor exato da derivada (para usar nas comparações):
  • Derivada de \cos x é -\sin x. Logo, no ponto x=\pi/4,
f'(\pi/4) = -\sin(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Vou usar este valor como referência (o “verdadeiro”).

Passo 4

Avaliação das funções em x, x\pm h. Como \pi/4=45^\circ e h=\pi/12=15^\circ, temos:
  • x+h=\pi/4+\pi/12=\pi/3 (60°) e \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}.
  • x=\pi/4 e \cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • x-h=\pi/4-\pi/12=\pi/6 (30°) e \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
    Esses valores são exatos e facilitam as contas.

Passo 5

Cálculo da diferença progressiva e simplificação:
f'_{\text{prog}}(\pi/4)\approx \frac{f(\pi/4+h)-f(\pi/4)}{h} = \frac{\cos(\pi/3)-\cos(\pi/4)}{h} = \frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{h}.
Como h=\pi/12, podemos escrever 2h=\pi/6, então
f'_{\text{prog}}(\pi/4)=\frac{1-\sqrt{2}}{2h}=\frac{1-\sqrt{2}}{\pi/6}=\frac{6(1-\sqrt{2})}{\pi}.
Avaliação numérica (usar os valores conhecidos \sqrt{2}\approx 1,414213562 e \pi\approx 3,141592654):
f'_{\text{prog}}(\pi/4)\approx -0{,}791209\quad(\text{aprox.})

Passo 6

Cálculo da diferença regressiva e simplificação:
f'_{\text{reg}}(\pi/4)\approx \frac{f(\pi/4)-f(\pi/4-h)}{h} = \frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{h} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2h} = \frac{6(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\pi}.
Avaliação numérica (com \sqrt{3}\approx 1,732050808):
f'_{\text{reg}}(\pi/4)\approx -0{,}606092\quad(\text{aprox.})

Passo 7

Cálculo da diferença centrada e simplificação:
f'_{\text{cent}}(\pi/4)\approx \frac{f(\pi/4+h)-f(\pi/4-h)}{2h} = \frac{\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{2h} = \frac{1-\sqrt{3}}{4h}.
Como 4h=\pi/3, temos
f'_{\text{cent}}(\pi/4)=\frac{1-\sqrt{3}}{\pi/3}=\frac{3(1-\sqrt{3})}{\pi}.
Avaliação numérica:
f'_{\text{cent}}(\pi/4)\approx -0{,}699404\quad(\text{aprox.})

Passo 8

Cálculo dos erros relativos percentuais verdadeiros:
  • Valor exato: f'(\pi/4)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071067811865476.
Erro relativo (progressiva):
\text{erro}_\text{prog}=\left|\frac{-0{,}7071067811865476 - (-0{,}791209)}{-0{,}7071067811865476}\right|\times100\% \approx 11{,}89\%.
Erro relativo (regressiva):
\text{erro}_\text{reg}=\left|\frac{-0{,}7071067811865476 - (-0{,}606092)}{-0{,}7071067811865476}\right|\times100\% \approx 14{,}30\%.
Erro relativo (centrada):
\text{erro}_\text{cent}=\left|\frac{-0{,}7071067811865476 - (-0{,}699404)}{-0{,}7071067811865476}\right|\times100\% \approx 1{,}09\%.

Resposta

Diferença progressiva: f'_{\text{prog}}(\pi/4)\approx -0{,}791209, erro relativo percentual verdadeiro \approx 11{,}89\%.
Diferença regressiva: f'_{\text{reg}}(\pi/4)\approx -0{,}606092, erro relativo percentual verdadeiro \approx 14{,}30\%.
Diferença centrada: f'_{\text{cent}}(\pi/4)\approx -0{,}699404, erro relativo percentual verdadeiro \approx 1{,}09\%.

Exercícios relacionados