1 Calcule aproximações por diferenças progressivas e regressivas e aproximações por diferenças centradas a primeira derivada de \mathrm{y}=\cos \mathrm{x} em \mathrm{x}=\pi / 4 usando um valor de \mathrm{h}=\pi / 12. Faça uma estimativa do erro relativo porcentual verdadeiro para cada aproximação.
Passo 1
O que o enunciado pede:
Calcular aproximações da primeira derivada de y=\cos x em x=\pi/4 usando:
diferença progressiva (forward),
diferença regressiva (backward),
diferença centrada (central),
com passo h=\pi/12.
Para cada aproximação, estimar o erro relativo percentual verdadeiro (ou seja, comparar com o valor exato da derivada).
Informações dadas:
Função: y=\cos x.
Ponto onde queremos a derivada: x=\pi/4.
Passo: h=\pi/12.
Passo 2
Fórmulas que vamos usar (explico cada coisa):
Seja f(x)=\cos x e h o passo. As fórmulas de diferenças finitas para a primeira derivada são:
diferença progressiva:
f'_{\text{prog}}(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.Aqui calculamos a inclinação do segmento que liga o ponto x ao ponto x+h.
diferença regressiva:
f'_{\text{reg}}(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}.É análoga à progressiva, só que usa o ponto anterior x-h.
diferença centrada:
f'_{\text{cent}}(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}.Esta média elimina termos de erro de ordem h e costuma ser mais precisa.
Erro relativo percentual verdadeiro: se f'(x) é o valor exato e \tilde f' é a aproximação, então\text{erro percentual} = \left|\frac{f'(x)-\tilde f'}{f'(x)}\right|\times 100\%.
Passo 3
Valor exato da derivada (para usar nas comparações):
Derivada de \cos x é -\sin x. Logo, no ponto x=\pi/4,
f'(\pi/4) = -\sin(\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Vou usar este valor como referência (o “verdadeiro”).
Passo 4
Avaliação das funções em x, x\pm h. Como \pi/4=45^\circ e h=\pi/12=15^\circ, temos:
x+h=\pi/4+\pi/12=\pi/3 (60°) e \cos(\pi/3)=\tfrac{1}{2}.
x=\pi/4 e \cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
x-h=\pi/4-\pi/12=\pi/6 (30°) e \cos(\pi/6)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Esses valores são exatos e facilitam as contas.