Calcule a área da região limitada pelas curvas:
y=\ln x, \quad y=\frac{1}{e} x, \quad x=1, \quad x=e^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as quatro curvas que limitam a região:
  • y=\ln x,
  • y=\dfrac{1}{e}x,
  • x=1,
  • x=e^{2}.
O que se pede: calcular a área da região limitada por essas curvas (ou seja, a área do conjunto de pontos (x,y) que estão entre as duas curvas em y e entre x=1 e x=e^{2}).
Informações relevantes dadas:
  • Os limites verticais são x=1 e x=e^{2}.
  • Temos duas curvas em y que podem cruzar-se em algum ponto no intervalo [1,e^{2}]: é importante saber qual está acima da outra para montar a integral correta.

Passo 2

Determinar onde as duas curvas em y se interceptam e qual é a curva superior no intervalo dado.
Igualamos as funções para achar interseções:
\ln x=\frac{1}{e}x.
Observando que x=e é uma solução (pois \ln e=1 e \dfrac{1}{e}\cdot e=1), temos uma interseção em x=e.
Para verificar se há outras interseções em [1,e^{2}] e para saber qual função é maior, considere a função
f(x)=\ln x-\frac{1}{e}x.
Calcule a derivada:
f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{e}.
  • Para 0<x<e vale f'(x)>0 (pois \frac{1}{x}>\frac{1}{e}), então f é crescente em (0,e).
  • Em x=e temos f'(e)=0.
  • Para x>e temos f'(x)<0, então f é decrescente em (e,\infty).
Logo f tem um único máximo em x=e. Como f(1)=\ln 1-\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}<0 e f(e^{2})=\ln(e^{2})-\frac{1}{e}e^{2}=2-e<0, a única raiz de f em [1,e^{2}] é x=e. Portanto, em todo o intervalo [1,e^{2}] temos
\ln x \le \frac{1}{e}x,
com igualdade somente em x=e. Assim a reta y=\dfrac{1}{e}x está acima de y=\ln x no intervalo considerado.

Passo 3

Montar a integral que dá a área entre duas curvas: para funções y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) eixos verticais x=a e x=b,
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=\dfrac{1}{e}x, y_{\text{bot}}(x)=\ln x, a=1, b=e^{2}. Logo
\text{Área}=\int_{1}^{e^{2}}\left(\frac{1}{e}x-\ln x\right)\,dx.Á
Explicação rápida e intuitiva: cada fatia vertical de espessura dx tem altura \dfrac{1}{e}x-\ln x, então somando (integrando) essas fatias de x=1 a x=e^{2} obtém-se a área.

Passo 4

Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando.
Primeiro termo:
\int \frac{1}{e}x\,dx=\frac{1}{e}\int x\,dx=\frac{1}{e}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2e}.
Segundo termo: usar integração por partes para \int \ln x\,dx. Escolha u=\ln x e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}dx e v=x. Pela fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
Portanto uma primitiva do integrando é
F(x)=\frac{x^{2}}{2e}-\bigl(x\ln x - x\bigr)=\frac{x^{2}}{2e}-x\ln x + x.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos extremos e calcular a área.
Calcule F(e^{2}):
\begin{aligned} F(e^{2})&=\frac{(e^{2})^{2}}{2e}-(e^{2})\ln(e^{2})+e^{2}\\[4pt] &=\frac{e^{4}}{2e}-e^{2}\cdot 2 + e^{2}\\[4pt] &=\frac{e^{3}}{2}-2e^{2}+e^{2}\\[4pt] &=\frac{e^{3}}{2}-e^{2}. \end{aligned}
Calcule F(1):
\begin{aligned} F(1)&=\frac{1^{2}}{2e}-1\cdot\ln 1 + 1\\[4pt] &=\frac{1}{2e}-0+1\\[4pt] &=1+\frac{1}{2e}. \end{aligned}
A área é F(e^{2})-F(1):
\begin{aligned} \text{Área}&=\left(\frac{e^{3}}{2}-e^{2}\right)-\left(1+\frac{1}{2e}\right)\\[4pt] &=\frac{e^{3}}{2}-e^{2}-1-\frac{1}{2e}. \end{aligned}Á
Pode também escrever de forma ligeiramente diferente:
\text{Área}=\frac{1}{2}\!\left(e^{3}-\frac{1}{e}\right)-(e^{2}+1).Á]

Resposta

\frac{e^{3}}{2}-e^{2}-1-\frac{1}{2e}

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