Calcule a área da região limitada pelas curvas:
Passo 1
O enunciado nos dá as quatro curvas que limitam a região:
-
, -
, -
, -
.
O que se pede: calcular a área da região limitada por essas curvas (ou seja, a área do conjunto de pontos
que estão entre as duas curvas em
e entre
e
).
Informações relevantes dadas:
- Os limites verticais são
e . - Temos duas curvas em
que podem cruzar-se em algum ponto no intervalo : é importante saber qual está acima da outra para montar a integral correta.
Passo 2
Determinar onde as duas curvas em
se interceptam e qual é a curva superior no intervalo dado.
Igualamos as funções para achar interseções:
Observando que
é uma solução (pois
e
), temos uma interseção em
.
Para verificar se há outras interseções em
e para saber qual função é maior, considere a função
Calcule a derivada:
- Para
vale (pois ), então é crescente em . - Em
temos . - Para
temos , então é decrescente em .
Logo
tem um único máximo em
. Como
e
, a única raiz de
em
é
. Portanto, em todo o intervalo
temos
com igualdade somente em
. Assim a reta
está acima de
no intervalo considerado.
Passo 3
Montar a integral que dá a área entre duas curvas: para funções
e
eixos verticais
e
,
Aqui
,
,
,
. Logo
Explicação rápida e intuitiva: cada fatia vertical de espessura
tem altura
, então somando (integrando) essas fatias de
a
obtém-se a área.
Passo 4
Calcular a primitiva (antiderivada) do integrando.
Primeiro termo:
Segundo termo: usar integração por partes para
. Escolha
e
. Então
e
. Pela fórmula
,
Portanto uma primitiva do integrando é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos extremos e calcular a área.
Calcule
:
Calcule
:
A área é
:
Pode também escrever de forma ligeiramente diferente: