Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
\varphi(x, y)=\frac{1}{x y} . R: \vec{\nabla} \varphi=-\frac{\vec{i}}{x^{2} y}-\frac{\vec{j}}{x y^{2}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a função escalar \varphi(x,y)=\dfrac{1}{x\,y}.
  • Pede-se calcular o campo vetorial gradiente \vec{\nabla}\varphi.
  • Informação implícita importante: a função está definida apenas quando x\neq0 e y\neq0 (pois há divisão por x e por y).

Passo 2

Lembrete do que é o gradiente e como calculá‑lo:
  • O gradiente de uma função escalar \varphi(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
\vec{\nabla}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\,\mathbf{j}.
  • Aqui \mathbf{i} e \mathbf{j} são os vetores unitários nas direções x e y.
  • Para tirar uma derivada parcial, trata‑se a outra variável como constante. Vou aplicar isso a \varphi.

Passo 3

Reescrever a função de forma conveniente para derivar:
  • Podemos escrever \varphi usando potências:
\varphi(x,y)=\frac{1}{x\,y}=x^{-1}y^{-1}.
  • Isso facilita usar a regra de potência: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial x} passo a passo:
  • Ao derivar em relação a x, y é constante. Então
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{-1}y^{-1}\big)=y^{-1}\,\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{-1}\big).
  • Aplicando a regra de potência a x^{-1}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{-1}\big)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=y^{-1}\cdot\big(-x^{-2}\big)=-x^{-2}y^{-1}=-\frac{1}{x^{2}y}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial\varphi}{\partial y} passo a passo:
  • Agora x é constante ao diferenciar em relação a y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{-1}y^{-1}\big)=x^{-1}\,\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}\big).
  • Aplicando a regra de potência a y^{-1}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{-1}\big)=-1\cdot y^{-2}=-y^{-2}.
  • Portanto
\frac{\partial\varphi}{\partial y}=x^{-1}\cdot\big(-y^{-2}\big)=-x^{-1}y^{-2}=-\frac{1}{x y^{2}}.

Passo 6

Montar o gradiente juntando as derivadas parciais:
\vec{\nabla}\varphi=\frac{\partial\varphi}{\partial x}\,\mathbf{i}+\frac{\partial\varphi}{\partial y}\,\mathbf{j} =-\frac{1}{x^{2}y}\,\mathbf{i}-\frac{1}{x y^{2}}\,\mathbf{j}.
Comentário rápido para a prova: sempre escreva \varphi como potências quando houver fatores no denominador; a derivada parcial trata a outra variável como constante; e lembre de indicar o domínio (aqui x\neq0, y\neq0).

Resposta

\displaystyle \vec{\nabla}\varphi=-\frac{\mathbf{i}}{x^{2}y}-\frac{\mathbf{j}}{x y^{2}}

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