Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dada a função escalar
. - Pede-se calcular o campo vetorial gradiente
. - Informação implícita importante: a função está definida apenas quando
e (pois há divisão por e por ).
Passo 2
Lembrete do que é o gradiente e como calculá‑lo:
- O gradiente de uma função escalar
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
- Aqui
e são os vetores unitários nas direções e . - Para tirar uma derivada parcial, trata‑se a outra variável como constante. Vou aplicar isso a
.
Passo 3
Reescrever a função de forma conveniente para derivar:
- Podemos escrever
usando potências:
- Isso facilita usar a regra de potência: se
então .
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Ao derivar em relação a
, é constante. Então
- Aplicando a regra de potência a
:
- Portanto
Passo 5
Calcular
passo a passo:
- Agora
é constante ao diferenciar em relação a :
- Aplicando a regra de potência a
:
- Portanto
Passo 6
Montar o gradiente juntando as derivadas parciais:
Comentário rápido para a prova: sempre escreva
como potências quando houver fatores no denominador; a derivada parcial trata a outra variável como constante; e lembre de indicar o domínio (aqui
,
).