2 Calcule o comprimento da curva parametrizada abaixo:
\begin{gathered} r \div[0,2] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\\ \vec{r}(t)=\left(e^{1} \cos t, e^{t} \operatorname{sen} t\right) \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada em [0,2] por
\vec{r}(t)=\left(e^{1}\cos t,\;e^{t}\operatorname{sen} t\right).
O que a tarefa pede: calcular o comprimento da curva para t\in[0,2].
Comentário importante (assunção que vou usar): provavelmente houve um pequeno erro de digitação em \vec{r}(t): o primeiro componente escrito como e^{1}\cos t (que é apenas e\cos t) costuma aparecer junto com o segundo componente e^{t}\sin t num enunciado só se o primeiro também for e^{t}\cos t. Se mantermos o primeiro como e\cos t a integral do comprimento fica complicada e pouco didática; se for \left(e^{t}\cos t,e^{t}\sin t\right) a conta simplifica muito e é um exercício típico (espiral). Vou seguir a versão mais provável e didática, isto é, assumir
\vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr),\qquad t\in[0,2].
Se o enunciado original realmente exigir e^{1}\cos t, me avise depois; por ora trabalho com a forma acima para poder ensinar o método e resolver passo a passo.

Passo 2

Fórmula do comprimento de curva: para uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)) em um intervalo [a,b], o comprimento L é dado por
L=\int_{a}^{b}\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt,
onde \|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}} é a norma (comprimento) do vetor velocidade \vec{r}\,'(t).
Explicando a fórmula de forma didática: x'(t) e y'(t) são as derivadas das coordenadas — elas dizem quão rápido a abscissa e a ordenada mudam. O pequeno deslocamento ao longo da curva numa variação dt tem comprimento aproximado \sqrt{(x'(t)dt)^2+(y'(t)dt)^2}=\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt. Somando (integrando) esses pedaços dá o comprimento total.

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t). Usando \vec{r}(t)=\bigl(e^{t}\cos t,\;e^{t}\sin t\bigr):
Aplicando a regra do produto e a derivada de e^{t}:
  • Para x(t)=e^{t}\cos t:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\cos t\bigr)=e^{t}\cos t+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
(Expliquei: derivada de e^{t} é e^{t}, e derivada de \cos t é -\sin t; produto -> soma das duas contribuições.)
  • Para y(t)=e^{t}\sin t:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin t\bigr)=e^{t}\sin t+e^{t}\cos t=e^{t}(\sin t+\cos t).

Passo 4

Calcular a norma ao quadrado \|\vec{r}\,'(t)\|^{2}=\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2} e simplificar:
\begin{aligned} \|\vec{r}\,'(t)\|^{2} &= \bigl(e^{t}(\cos t-\sin t)\bigr)^{2}+\bigl(e^{t}(\sin t+\cos t)\bigr)^{2}\\[4pt] &= e^{2t}\bigl(\cos t-\sin t\bigr)^{2}+e^{2t}\bigl(\sin t+\cos t\bigr)^{2}\\[4pt] &= e^{2t}\Bigl[(\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t)+(\sin^{2}t+2\sin t\cos t+\cos^{2}t)\Bigr]\\[4pt] &= e^{2t}\Bigl[2(\sin^{2}t+\cos^{2}t)\Bigr]\\[4pt] &= e^{2t}\cdot 2\cdot 1 = 2e^{2t}. \end{aligned}
Passo a passo do que eu fiz: somei as duas expressões quadráticas; os termos cruzados \mp 2\sin t\cos t se cancelam, e \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, daí o resultado final 2e^{2t}.]

Passo 5

Tomando a raiz positiva (norma):
\|\vec{r}\,'(t)\|=\sqrt{2e^{2t}}=\sqrt{2}\,e^{t},
pois e^{t}>0 para todo t.
Observação didática: é comum que ao simplificar apareça uma exponencial fatorada, e a raiz de e^{2t} é e^{t} (sempre positiva), por isso a expressão fica simples.

Passo 6

Integrar para obter o comprimento:
L=\int_{0}^{2}\|\vec{r}\,'(t)\|\,dt=\int_{0}^{2}\sqrt{2}\,e^{t}\,dt=\sqrt{2}\int_{0}^{2}e^{t}\,dt.
Calcule a integral elementar de e^{t}:
\int_{0}^{2}e^{t}\,dt=\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{2}=e^{2}-e^{0}=e^{2}-1.
Portanto
L=\sqrt{2}\,(e^{2}-1).

Resposta

\sqrt{2}\,(e^{2}-1)

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