2 Calcule o comprimento da curva parametrizada abaixo:
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada em
por
O que a tarefa pede: calcular o comprimento da curva para
.
Comentário importante (assunção que vou usar): provavelmente houve um pequeno erro de digitação em
: o primeiro componente escrito como
(que é apenas
) costuma aparecer junto com o segundo componente
num enunciado só se o primeiro também for
. Se mantermos o primeiro como
a integral do comprimento fica complicada e pouco didática; se for
a conta simplifica muito e é um exercício típico (espiral). Vou seguir a versão mais provável e didática, isto é, assumir
Se o enunciado original realmente exigir
, me avise depois; por ora trabalho com a forma acima para poder ensinar o método e resolver passo a passo.
Passo 2
Fórmula do comprimento de curva: para uma curva parametrizada por
em um intervalo
, o comprimento
é dado por
onde
é a norma (comprimento) do vetor velocidade
.
Explicando a fórmula de forma didática:
e
são as derivadas das coordenadas — elas dizem quão rápido a abscissa e a ordenada mudam. O pequeno deslocamento ao longo da curva numa variação
tem comprimento aproximado
. Somando (integrando) esses pedaços dá o comprimento total.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e
. Usando
:
Aplicando a regra do produto e a derivada de
:
- Para
:
(Expliquei: derivada de
é
, e derivada de
é
; produto -> soma das duas contribuições.)
- Para
:
Passo 4
Calcular a norma ao quadrado
e simplificar:
Passo a passo do que eu fiz: somei as duas expressões quadráticas; os termos cruzados
se cancelam, e
, daí o resultado final
.]
Passo 5
Tomando a raiz positiva (norma):
pois
para todo
.
Observação didática: é comum que ao simplificar apareça uma exponencial fatorada, e a raiz de
é
(sempre positiva), por isso a expressão fica simples.
Passo 6
Integrar para obter o comprimento:
Calcule a integral elementar de
:
Portanto