Calcule o comprimento da curva x=t, y=\frac{2}{3} t^{3 / 2} para 0 \leq t \leq 4.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada por t e pede o comprimento dessa curva no intervalo 0 \leq t \leq 4.
Dados do enunciado:
A parametrização é x(t)=t e y(t)=\dfrac{2}{3}\,t^{3/2}.
O parâmetro varia em t\in[0,4].
O que é pedido:
Calcular o comprimento da curva para t entre 0 e 4.
Passo 2
Lembrete e motivo da fórmula que vamos usar (pequena aula): para uma curva no plano dada por uma parametrização (x(t),y(t)) com t\in[a,b], aproximamos o comprimento dividindo [a,b] em muitos subintervalos e somando pequenos segmentos retos. Cada pequeno segmento entre t e t+\Delta t tem comprimento aproximado
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Delta t\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Delta t\Bigr)^2}=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,\Delta t.
Tomando o limite quando as divisões ficam infinitesimais chega-se à integral: