Calcule o comprimento da curva x=t, y=\frac{2}{3} t^{3 / 2} para 0 \leq t \leq 4.

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por t e pede o comprimento dessa curva no intervalo 0 \leq t \leq 4.
Dados do enunciado:
  • A parametrização é x(t)=t e y(t)=\dfrac{2}{3}\,t^{3/2}.
  • O parâmetro varia em t\in[0,4].
O que é pedido:
  • Calcular o comprimento da curva para t entre 0 e 4.

Passo 2

Lembrete e motivo da fórmula que vamos usar (pequena aula): para uma curva no plano dada por uma parametrização (x(t),y(t)) com t\in[a,b], aproximamos o comprimento dividindo [a,b] em muitos subintervalos e somando pequenos segmentos retos. Cada pequeno segmento entre t e t+\Delta t tem comprimento aproximado
\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\approx\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Delta t\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Delta t\Bigr)^2}=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,\Delta t.
Tomando o limite quando as divisões ficam infinitesimais chega-se à integral:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.
Nesta fórmula:
  • L é o comprimento da curva,
  • \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} são as derivadas das componentes em relação a t,
  • a e b são os limites do parâmetro.

Passo 3

Calcular as derivadas pedidas (passo a passo, sem pular):
  • Para x(t)=t, a derivada é
\frac{dx}{dt}=1,
pois a derivada de t em relação a t é 1.
  • Para y(t)=\dfrac{2}{3}\,t^{3/2}, usar a regra da potência: a derivada de t^{3/2} é \dfrac{3}{2}\,t^{1/2}. Portanto
\frac{dy}{dt}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=t^{1/2}.
Observação: os coeficientes \dfrac{2}{3} e \dfrac{3}{2} se cancelam, sobrando t^{1/2}.

Passo 4

Montar o integrando da fórmula do comprimento:
\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2} =\sqrt{1^2+\bigl(t^{1/2}\bigr)^2} =\sqrt{1+t}.
Portanto o comprimento é
L=\int_{0}^{4}\sqrt{1+t}\,dt.

Passo 5

Calcular a integral. Fazemos a substituição direta u=1+t, então du=dt. Os limites mudam assim:
  • quando t=0, u=1;
  • quando t=4, u=5.
Assim
L=\int_{1}^{5}\sqrt{u}\,du=\int_{1}^{5}u^{1/2}\,du.
Integramos usando a regra da potência: \displaystyle\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites:
L=\left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{1}^{5}=\frac{2}{3}\bigl(5^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Simplificando 5^{3/2}=5\sqrt{5} e 1^{3/2}=1, obtemos
L=\frac{2}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr).
Opcional (aproximação numérica para intuição): 5\sqrt{5}\approx5\times2{,}2360679\approx11{,}18034, então
L\approx\frac{2}{3}(11{,}18034-1)=\frac{2}{3}\times10{,}18034\approx6{,}7869.

Resposta

\dfrac{2}{3}\bigl(5\sqrt{5}-1\bigr)

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