Calcule o comprimento da curva:
y=\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}-1} d t, \quad 1 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado dá a curva definida por
y=\int_{1}^{x} \sqrt{t^{2}-1}\,dt,\qquad 1\le x\le 2,
e pede o comprimento da curva para x variando de 1 a 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função y está dada como uma integral dependente de x.
  • O intervalo de interesse é [1,2].
    A tarefa é calcular o comprimento da curva y(x) nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar a derivada y'(x). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
y(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então a derivada é
y'(x)=f(x).
Aqui f(t)=\sqrt{t^{2}-1}. Logo, aplicando o teorema:
y'(x)=\sqrt{x^{2}-1}.
Explicando devagar: isso significa que a taxa de variação de y em relação a x é simplesmente o integrando avaliado em t=x.

Passo 3

Agora a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por y=y(x), a\le x\le b, é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\,dx.
Raciocínio rápido por trás dessa fórmula: um pequeno pedaço de curva entre x e x+dx tem comprimento aproximado
ds\approx\sqrt{(dx)^{2}+(dy)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\tfrac{dy}{dx}\bigr)^{2}}\,dx,
e somando (integrando) esses pedaços obtemos o comprimento total.

Passo 4

Substituímos y'(x)=\sqrt{x^{2}-1} na fórmula de comprimento:
L=\int_{1}^{2}\sqrt{1+\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}}\,dx.
Dentro da raiz simplifica-se:
1+\bigl(\sqrt{x^{2}-1}\bigr)^{2}=1+(x^{2}-1)=x^{2},
portanto
L=\int_{1}^{2}\sqrt{x^{2}}\,dx.
Lembrando que \sqrt{x^{2}}=|x|. No intervalo dado temos x\ge 1>0, logo |x|=x. Assim
L=\int_{1}^{2} x\,dx.

Passo 5

Calculemos a integral:
uma primitiva de x é \tfrac{1}{2}x^{2}. Portanto
L=\Bigl[\tfrac{1}{2}x^{2}\Bigr]_{1}^{2}=\tfrac{1}{2}\bigl(2^{2}-1^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}(4-1)=\tfrac{3}{2}.
Dica prática para a prova: muitas vezes quando y' é uma raiz envolvendo x^{2}-1 essa +\!1 dentro da raiz do comprimento cancela com o -1 do quadrado, levando a uma expressão simples como \sqrt{x^{2}}. Sempre verifique o sinal (aqui ficou positivo porque x\ge1).

Resposta

\tfrac{3}{2}

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