Calcule o comprimento da curva:
Passo 1
O enunciado dá a curva definida por
e pede o comprimento da curva para
variando de
a
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está dada como uma integral dependente de . - O intervalo de interesse é
.
A tarefa é calcular o comprimento da curvanesse intervalo.
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar a derivada
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
então a derivada é
Aqui
. Logo, aplicando o teorema:
Explicando devagar: isso significa que a taxa de variação de
em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
.
Passo 3
Agora a fórmula do comprimento de arco para uma curva dada por
,
, é
Raciocínio rápido por trás dessa fórmula: um pequeno pedaço de curva entre
e
tem comprimento aproximado
e somando (integrando) esses pedaços obtemos o comprimento total.
Passo 4
Substituímos
na fórmula de comprimento:
Dentro da raiz simplifica-se:
portanto
Lembrando que
. No intervalo dado temos
, logo
. Assim
Passo 5
Calculemos a integral:
uma primitiva de é
. Portanto
uma primitiva de
Dica prática para a prova: muitas vezes quando
é uma raiz envolvendo
essa
dentro da raiz do comprimento cancela com o
do quadrado, levando a uma expressão simples como
. Sempre verifique o sinal (aqui ficou positivo porque
).