Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x^{2} e^{-x}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • É pedido calcular a derivada da função \displaystyle f(x)=x^{2}e^{-x}.
  • Informação dada: a função é o produto de duas funções conhecidas: \displaystyle u(x)=x^{2} e \displaystyle v(x)=e^{-x}.
  • Pergunta implícita: encontrar f'(x), a derivada em termos de x.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e intuitiva):
  • Como f é produto de duas funções, a ferramenta padrão é a regra do produto. Não é preciso mais nada complicado.
  • Vamos também precisar da derivada de uma exponencial composta, que é tratada pela regra da cadeia. Vou lembrar as regras antes de aplicar.

Passo 3

Lembrete das regras que usaremos (com explicação didática):
  • Regra do produto: se \displaystyle f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa: derivar uma função de cada vez, multiplicar pela outra sem derivar, e somar os dois termos.
  • Regra da cadeia para exponencial: se \displaystyle v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=e^{g(x)}\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=-x, então a derivada de e^{-x} é e^{-x} vezes a derivada de -x, que é -1.

Passo 4

Derivar cada fator separadamente (passo a passo):
  • Para \displaystyle u(x)=x^{2}, usamos a regra do poder: se \displaystyle u(x)=x^{n} então \displaystyle u'(x)=n x^{n-1}. Assim
u'(x)=2x.
  • Para \displaystyle v(x)=e^{-x}, aplicamos a regra da cadeia com g(x)=-x. Temos g'(x)=-1, então
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto substituindo os derivados encontrados:
Usando \displaystyle f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) com os valores acima,
f'(x)=(2x)\,e^{-x}+x^{2}\,(-e^{-x}).

Passo 6

Fazer a simplificação/algebra (fazer do jeito que facilita memorização na prova):
  • Colocar \displaystyle e^{-x} em evidência, pois aparece em ambos os termos:
f'(x)=e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr).
  • Se preferir, fatorando também por x:
f'(x)=x e^{-x}\bigl(2 - x\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fica bem prática para ver zeros da derivada.

Passo 7

Dica rápida para a prova e checagem mental:
  • Para verificar se não houve erro, calcular mentalmente um caso simples, por exemplo x=0: \displaystyle f(x)=0 e nossa fórmula dá \displaystyle f'(0)=0\cdot e^{0}(2-0)=0, consistente com derivada de x^{2}e^{-x} em 0.
  • Lembre sempre: produto → regra do produto; exponencial composta → regra da cadeia.

Resposta

f'(x)=e^{-x}\bigl(2x - x^{2}\bigr)

Exercícios relacionados