Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- É pedido calcular a derivada da função
. - Informação dada: a função é o produto de duas funções conhecidas:
e . - Pergunta implícita: encontrar
, a derivada em termos de .
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e intuitiva):
- Como
é produto de duas funções, a ferramenta padrão é a regra do produto. Não é preciso mais nada complicado. - Vamos também precisar da derivada de uma exponencial composta, que é tratada pela regra da cadeia. Vou lembrar as regras antes de aplicar.
Passo 3
Lembrete das regras que usaremos (com explicação didática):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derivar uma função de cada vez, multiplicar pela outra sem derivar, e somar os dois termos.
- Regra da cadeia para exponencial: se
, então
No nosso caso
, então a derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 4
Derivar cada fator separadamente (passo a passo):
- Para
, usamos a regra do poder: se então . Assim
- Para
, aplicamos a regra da cadeia com . Temos , então
Passo 5
Aplicar a regra do produto substituindo os derivados encontrados:
Usando com os valores acima,
Usando
Passo 6
Fazer a simplificação/algebra (fazer do jeito que facilita memorização na prova):
- Colocar
em evidência, pois aparece em ambos os termos:
- Se preferir, fatorando também por
:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda fica bem prática para ver zeros da derivada.
Passo 7
Dica rápida para a prova e checagem mental:
- Para verificar se não houve erro, calcular mentalmente um caso simples, por exemplo
: e nossa fórmula dá , consistente com derivada de em . - Lembre sempre: produto → regra do produto; exponencial composta → regra da cadeia.